1 Recap — reti

Iniziamo ricapitolando conoscenze già note, ma che spesso richiedono un piccolo reboot: questo è il momento di farlo dato che ne avremo bisogno per costruire quello che viene dopo.

1.1 Kirchhoff

Le leggi di Kirchhoff dei nodi e delle maglie derivano dalle equazioni di Maxwell e permettono di tradurre una rete di componenti in un sistema di equazioni.

Prima legge di Kirchhoff / Legge dei Nodi

Si consideri un nodo su cui convergono \(N\) rami di una rete, allora

\[\sum_{k=1}^{N} I_k = 0,\]

dove \(I_k\) sono le correnti entranti (positive) e uscenti (negative) che confluiscono sul nodo.

Derivazione da Maxwell

La legge deriva dalla conservazione della carica, ossia dalla legge di continuità

\[\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0,\]

dove \(\mathbf{J}\) è la densità di corrente di carica e \(\rho\) la densità di carica. Si ricorda che questa equazione deriva a sua volta dalla divergenza della quarta equazione di Maxwell

\[\nabla\cdot\left(\nabla\times\mathbf{H}\right) = 0 = \nabla\cdot \left(\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right),\]

dove si ricorda che in base alla prima equazione sullo spostamento dielettrico, \(\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho\). Usando il teorema della divergenza, l’equazione di continuità si può scrivere anche in forma integrale per un dato volume \(\Omega\) con bordo \(\partial\Omega\)

\[\oint_{\partial\Omega} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} = -\frac{dQ}{dt}.\]

Se il volume \(\Omega\) racchiude un nodo, l’integrale di superficie a sinistra non è altro che la somma delle correnti uscenti meno le correnti entranti, mentre il termine di destra viene posto a zero perché si assume che il nodo non possa accumulare carica. Questo in realtà è possibile considerando la sua self-capacitance ma questo effetto, così come altri eventuali accoppiamenti spuri, sono trascurati nei limiti della legge. \(\blacksquare\)

Ipotesi implicita. La legge vale nel limite in cui \(dQ/dt=0\) al nodo.

Seconda legge di Kirchhoff / Legge delle maglie

Su ogni cammino chiuso di una rete, la somma algebrica delle cadute di tensione è nulla

\[\sum_{k=1}^N V_k = 0, \tag{1.1}\]

dove \(N\) è il numero di rami della rete contenuti nel cammino.

Derivazione da Maxwell

La legge deriva dalla seconda equazione di Maxwell, ossia dalla circuitazione del campo elettrico

\[\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\]

che, sfruttando il teorema di Stokes, può essere scritta in forma integrale su una superficie con bordo orientato \(\gamma\)

\[\oint_\gamma \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt}\Phi(\mathbf{B}),\]

dove \(\Phi(\mathbf{B})\) è il flusso del campo \(\mathbf{B}\) concatenato con la superficie. Nell’approssimazione quasi-statica il termine a destra viene trascurato, mentre quello a sinistra si traduce nella somma algebrica delle cadute di tensione lungo la maglia. \(\blacksquare\)

Ipotesi implicita. La forma usuale della legge delle maglie è valida quando la variazione del flusso magnetico concatenato con la maglia è trascurabile, oppure quando i suoi effetti sono rappresentati esplicitamente mediante elementi circuitali e mutue induttanze.

Effetti trascurati e rumore

Esistono vari effetti non inclusi esplicitamente nelle leggi, che è interessante discutere in connessione con l’annoso problema del rumore. Forse qualcuno avrà notato che i circuiti possono essere disturbati semplicemente “imponendo le mani” sulla basetta, perfino senza toccarla. Oltre a questo, nelle misure non è strano trovare disturbi a \(50\,\mathrm{Hz}\), la frequenza della rete elettrica.

Come fanno questi disturbi a infilarsi nei nostri circuiti? Ci sono almeno tre modi diversi (più enne altri che sicuramente non ci vengono in mente: sfortunatamente, le vie del rumore sono infinite):

Flusso concatenato. Anche in assenza di connessione galvanica, qualsiasi loop chiuso è soggetto a una forza elettromotrice pari alla derivata temporale del flusso concatenato di \(\mathbf{B}\), per esempio quello dovuto alla rete di alimentazione: la rete elettrica è ovunque, l’effetto è inevitabile e scala con l’area del loop. Un loop di massa, che nasce quando collegamenti multipli fra le masse di segnale creano cammini di ritorno chiusi, talvolta con aree di vari metri quadri, può essere molto efficace nel captare disturbi a \(50\,\mathrm{Hz}\).
Accoppiamenti capacitivi. Il rumore può entrare in un circuito anche semplicemente “imponendo le mani”, o peggio toccandolo: voi stessi, in quanto conduttori di grandi dimensioni, avete una capacità non trascurabile rispetto a qualsiasi altro conduttore che vi circonda, anche di piccole dimensioni purché sufficientemente vicino. La rete elettrica è un enorme conduttore e “imponendo le mani” si crea un ponte capacitivo circuito-persona-rete; toccando il nodo, una delle due capacità viene cortocircuitata e l’effetto diventa ancora più forte.

Oltre a questo, la rete elettrica può disturbare il vostro circuito anche quando è semplicemente connesso a qualcosa di alimentato: è molto facile che qualche traccia dei \(230\,\mathrm{V}\) percoli, tramite alimentatori non perfetti e vari effetti spuri. Per esempio, quasi di certo la quantità di disturbi dipende in maniera significativa dal fatto che il computer di misura funzioni a batteria o sia collegato alla rete.

Approssimazione ad elementi condensati

La formalizzazione di uno schema elettronico in termini di una rete si fonda sull’ipotesi degli elementi condensati. Può sembrare ovvio ragionare in termini di resistenze o condensatori, ma è bene non darli troppo per scontati e rendersi conto che sono solo delle idealizzazioni.

Approssimazione quasi-statica. La seconda e quarta equazioni di Maxwell contengono un loop di feedback \(\mathbf{E}\leftrightarrows\mathbf{B}\) per cui una variazione nel tempo dell’induzione magnetica \(\mathbf{B}\) fa da sorgente per il campo elettrico \(\mathbf{E}\) e viceversa. Nel vuoto e in assenza di cariche e correnti abbiamo

\[\begin{cases} \nabla \times \mathbf{E} &= -\cfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= +\cfrac{1}{c^2}\cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. \end{cases}\]

Il fatto che questa connessione sia o meno trascurabile dipende dalla scala \(L\) su cui variano i campi (e ci aspettiamo varino quantomeno sulla scala del componente) e dalla frequenza angolare dei campi \(\omega\). Analizzando gli ordini di grandezza coinvolti e considerando \(\partial_t \approx \omega\) e \(\nabla \approx 1/L\), dalla quarta equazione si ottiene che un campo elettrico variabile causa un’induzione magnetica dell’ordine di

\[c|\mathbf{B}|\approx \frac{\omega L}{c}|\mathbf{E}| = 2\pi\frac{L}{\lambda}|\mathbf{E}|\]

e simmetricamente un’induzione magnetica variabile causa un campo elettrico dell’ordine di

\[|\mathbf{E}|\approx 2\pi\frac{L}{\lambda}c|\mathbf{B}|.\]

Il parametro che controlla l’approssimazione è dunque

\[\eta=\frac{\omega L}{c}=2\pi\frac{L}{\lambda},\]

e questi effetti restano una piccola perturbazione quando \(\eta\ll1\). Per essere concreti, \(100\,\mathrm{MHz}\) corrispondono a \(\lambda\approx3\,\mathrm{m}\) e quindi a \(\lambda/2\pi\approx0.5\,\mathrm{m}\): anche a questa frequenza, molto superiore a quelle usate nella maggior parte degli esperimenti del corso, le dimensioni centimetriche dei componenti e dei collegamenti restano ben dentro il regime quasi-statico.

Esempio: un condensatore, vediamo come il modello di base classico sia in realtà solo un’approssimazione.

Consideriamo due armature circolari di raggio \(R\), superficie \(S=\pi R^2\) e distanza \(d\) con effetti di bordo trascurabili (\(d\ll R\)) e trascuriamo l’effetto legato ai cavi di connessione, focalizzandoci esclusivamente su quanto succede nel vuoto fra le due armature. Partiamo dal limite statico, per vedere come salendo in frequenza il classico modello di condensatore non possa reggere. Data una carica \(Q\) distribuita uniformemente sull’armatura, avremo una densità di carica \(\sigma = Q/S\) e un campo elettrico perpendicolare alla superficie \(E_\perp = \sigma/\varepsilon_0\), da cui otteniamo

\[V = E_\perp d = \frac{d}{\varepsilon_0S}Q = \frac{Q}{C}, \tag{1.2}\]

dove abbiamo introdotto la capacità \(C = \varepsilon_0 S/d\). La tacita assunzione è che questa soluzione elettrostatica possa seguire istantaneamente un qualunque \(Q(t)\). La corrente di spostamento è già ciò che consente al condensatore di supportare una corrente variabile; quello che il modello ideale trascura è il campo magnetico che essa genera e la successiva retroazione sul campo elettrico. Valutiamo questa correzione nel caso di un campo \(E_\perp e^{j\omega t}\): per simmetria ci aspettiamo un’induzione magnetica azimutale \(\mathbf{B}=B_\theta(r)\hat{\boldsymbol{\theta}}e^{j\omega t}\) che varia in funzione della posizione radiale \(r\) secondo la relazione

\[2\pi r\,B_\theta(r) \approx j\frac{\pi r^2\omega}{c^2}E_\perp,\implies B_\theta(r) \approx j\frac{r\omega}{2c^2}E_\perp.\]

Usando la legge di Faraday, questa variazione a sua volta impone la relazione

\[d\left[E_\perp(0)-E_\perp(r)\right] = -jd\int_0^r\omega B_\theta(r')dr',\implies E_\perp(r) \approx E_\perp(0)\left(1-\frac{\pi^2r^2}{\lambda^2}\right).\]

Osservazioni: correzioni ai componenti ideali. Innanzi tutto, notiamo che l’esistenza del feedback \(\mathbf{E}\leftrightarrows\mathbf{B}\) richiede una dipendenza radiale del campo elettrico: non può essere costante, e questo sostanzialmente contraddice l’ipotesi iniziale di densità di carica uniforme \(\sigma = \pm Q/S\) sulle armature. Questa correzione è solo una piccola perturbazione fintanto che \(R\ll\lambda\), ma al di fuori di questo limite il problema andrebbe affrontato da zero, partendo da Maxwell e senza fare ipotesi sostanzialmente non corrette come quella dell’uniformità della carica sull’armatura.

Per capire la natura della correzione possiamo tentare ancora di ragionare in termini di elementi condensati e vedere quale sia l’effetto delle perturbazioni ottenute. L’energia elettrica massima immagazzinata è quella ben nota per un condensatore

\[U_E = \int \frac{\varepsilon_0 E_\perp^2}{2}dV = \frac{1}{2}CV^2,\]

e dato che la correzione è piccola possiamo in prima battuta ignorarla. Il discorso per il campo magnetico è diverso, in quanto nell’approssimazione statica non c’è affatto e, sebbene il campo indotto sia piccolo, è sensato chiedersi che effetto abbia sul comportamento del componente. La presenza di un campo magnetico porta a un ulteriore termine energetico, sfasato di \(\pi/2\), il cui valore massimo è

\[U_B = \int \frac{|B_\theta|^2}{2\mu_0}dV = d\int_0^R 2\pi r \frac{r^2\omega^2E_\perp^2}{8\mu_0c^4}dr = \frac{\pi\varepsilon_0 d\,E_\perp^2\omega^2R^4}{16\,c^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mu_0d}{8\pi}\right)I^2,\]

dove \(Q=\varepsilon_0E_\perp S\) è la massima carica e \(I=\omega Q\) la massima corrente, e abbiamo introdotto un termine induttivo \(L=\mu_0d/8\pi\). In breve, da questo ragionamento apprendiamo che il nostro condensatore finora ideale nasconde anche un comportamento induttivo connesso con la corrente di spostamento, che ad alta frequenza porta ad effetti di risonanza e ad una sostanziale deviazione dell’impedenza \(Z(\omega)\) dal comportamento ideale \(Z=1/j\omega C\). Questo è l’inizio del fallimento dell’approssimazione ad elementi condensati.

Un calcolo che vada oltre il limite quasi-statico è al di là degli scopi di queste note, ma è illustrato in Figura 1.1 per il caso semplificato di un condensatore con \(R=1\,\mathrm{mm}\) e \(d=0.1\,\mathrm{mm}\), sempre nel limite in cui trascuriamo gli effetti di bordo. Inizialmente emerge un discostamento sostanzialmente descrivibile come una serie LC che porta effettivamente ad una risonanza a \(Z=0\). Sebbene fin qui potremmo ancora tentare di interpretare il tutto in termini di elementi condensati, è chiaro che la risonanza in \(Z(\omega)\) appena descritta è solo la prima di una lunga serie dove una descrizione in termini di elementi condensati sostanzialmente cessa di avere senso.

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  container.style.cssText = "width:100%;position:relative;margin:0 auto;";
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  renderLumped(container);
}

Figura 1.1: Condensatore circolare con \(R=1\,\mathrm{mm}\) e \(d=0.1\,\mathrm{mm}\), effetti di bordo trascurati (\(d\ll R\)). (a) dipendenza dei campi in funzione della posizione radiale, unità arbitrarie. (b) il modulo dell’impedenza inizialmente coincide con il modello di condensatore ideale \(Z=1/j\omega C\) ma, quando l’approssimazione \(2\pi R/\lambda\ll1\) fallisce, emerge prima una componente induttiva che porta a una risonanza con \(Z=0\) e quindi a un comportamento più complesso, sostanzialmente non descrivibile in termini di elementi condensati.

Osservazioni: altre dipendenze dalla frequenza. Si è citato il fatto che a \(100\,\mathrm{MHz}\) è ancora perfettamente lecito considerare valide le approssimazioni di elementi condensati per i componenti in uso nel laboratorio. Va tuttavia notato che a queste frequenze la nostra descrizione dei circuiti fallisce comunque per almeno due motivi:

Le basette che useremo sono piene zeppe di capacità parassite dell’ordine di \(1-10\,\mathrm{pF}\), che a \(100\,\mathrm{MHz}\) hanno una impedenza già piuttosto bassa e un effetto decisamente non trascurabile;
Al crescere della frequenza l’effetto pelle impedisce ai campi elettromagnetici di entrare in profondità nei conduttori: questo causa una riduzione della sezione utile alla conduzione, portando all’emergere di resistenze parassite.

Di fatto, con i mezzi e metodi adottati nel laboratorio, andare anche solo oltre \(1\,\mathrm{MHz}\) richiede quasi certamente attenzione e l’inclusione di elementi parassiti nella rete che descrive il circuito.

1.2 Reti resistive lineari

Quello delle reti lineari è lo scenario base a cui finiremo sempre per ricondurci. Si consideri Figura 1.2: la rete include una serie di sorgenti di tensione e di corrente (le forzanti), che causano un flusso di corrente nelle varie resistenze (la risposta). Le leggi di Kirchhoff permettono di “tradurre” la rete del circuito in un sistema lineare di equazioni, che in figura è riportato con un formalismo matriciale.

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  container.style.cssText = "width:100%;position:relative;margin:0 auto;";
  yield container;
  renderKirchhoff(container);
}

Figura 1.2: Esempio di rete resistiva: ogni equazione di nodo o di maglia indipendente corrisponde a un’equazione nel sistema lineare in basso. Nessuna maglia include il ramo di un generatore ideale di corrente, dato che introdurrebbe la sua tensione come ulteriore incognita superflua.

Incognite e soluzione. Le correnti che scorrono attraverso i vari elementi circuitali sono le incognite; la loro relazione con le sorgenti è espressa dalle equazioni indipendenti di nodo e di maglia che è possibile definire sulla rete. L’approccio brute-force (che funziona sempre) è quello di risolvere il sistema lineare invertendo la matrice, ma a volte è possibile — e perfino più comodo — procedere più “con le mani”, sfruttando le ben note regole per le resistenze in serie e in parallelo e i principi illustrati a seguire.

Linearità e sovrapposizione. Il motivo principale per cui ci piacciono i sistemi lineari è che rispettano il principio di sovrapposizione e sono quindi estremamente semplici. In particolare, la risposta può essere ottenuta sommando linearmente gli effetti di ogni singola forzante mentre le altre sono “spente”, nonché è sufficiente conoscere un numero limitato di soluzioni linearmente indipendenti per ricostruire la soluzione generale. Qui è bene ricordare che cosa significa “spegnere” una forzante:

per un generatore di tensione, che a prescindere dalla corrente in uscita eroga una tensione \(V(I)\) costante, imporre \(V=0\) è a tutti gli effetti equivalente a sostituire il generatore con un cortocircuito;
per un generatore di corrente, che a prescindere dalla tensione eroga una corrente \(I(V)\) costante, imporre \(I=0\) è a tutti gli effetti equivalente a sostituire il generatore con un circuito aperto.

1.3 Porte ed equivalenti

Definizione 1.1: Porta

Data una rete lineare, una coppia di nodi come in Figura 1.3 realizza una “porta” che può essere collegata ad un’altra rete oppure ad un semplice componente. La porta è caratterizzata da:

un voltaggio di porta \(v\);
una corrente di porta \(i\).

Condizione di porta. Una “porta” per essere tale deve soddisfare una regola fondamentale: la corrente totale netta dei suoi due elettrodi deve essere pari a zero, quella che esce da un nodo deve rientrare nell’altro. Con una sola porta questa è una ovvietà, ma in presenza di più porte la condizione può fallire.

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Figura 1.3: Una porta e i suoi due equivalenti. Da sinistra verso destra: la nuvola rappresenta la rete, con una porta rappresentata da due nodi \(N_\pm\), con le convenzioni di segno per il voltaggio \(v\) e la corrente \(i\) di porta; equivalente di Thévenin; equivalente di Norton.

Definizione 1.2: Resistenza equivalente

La resistenza vista dalla porta — detta anche resistenza equivalente, di ingresso o di uscita in base al ruolo della porta — quantifica in che misura una variazione di corrente di porta \(i\) modifica il voltaggio di porta \(v\)

\[R_\mathrm{eq}=\frac{dv}{di}.\]

Nel contesto delle reti lineari, possiamo sostituire la derivata con il rapporto: la procedura è “spegnere” tutte le forzanti della rete e collegare una sorgente di “test” con voltaggio \(v\) alla porta; data la corrente \(i\) indotta, semplicemente \(R_\mathrm{eq}=v/i\).

Quando si parla di “forzanti” si intendono le sorgenti indipendenti: se ci sono solo quelle, ciò che resta è un network di resistenze e \(R_\mathrm{eq}\) può essere tipicamente calcolata con le semplici regole di calcolo per serie e parallelo. Nei casi più complessi in cui sono presenti sorgenti dipendenti (per esempio nei modelli di transistor), che non sono delle forzanti ma descrivono solo delle interdipendenze fra diverse parti della rete, il calcolo può essere più laborioso.

Facciamo un esempio specifico. Consideriamo il generatore \(V_\mathrm{S1}\) in Figura 1.2 come una sorgente di “test” e il resto del circuito come una rete con una porta che fa capo ai terminali di \(R_1\) e \(R_2\). Spegnendo le altre sorgenti, il ramo di \(I_\mathrm{S1}\) diventa un circuito aperto e \(V_\mathrm{S2}\) viene cortocircuitato. Ciò che resta è \(R_5\) in parallelo a \(R_4\), con il tutto in serie alle altre resistenze, ossia la resistenza vista dal generatore \(V_\mathrm{S1}\) vale

\[ R_\mathrm{eq} = R_1+R_2+R_3+\frac{R_4R_5}{R_4+R_5}. \]

Questa informazione permette anche di calcolare la corrente erogata dal generatore \(V_\mathrm{S1}\) quando agisce da solo sulla rete: \(I_1^\mathrm{S1} = V_\mathrm{S1}/R_\mathrm{eq}\). Se volessimo trovare la corrente totale \(I_1\) del ramo, potremmo ripetere la procedura per ogni sorgente e sommare i risultati.

Teorema 1.1: Equivalenti di Thévenin e Norton

Una porta su una rete lineare è indistinguibile da uno fra due equivalenti (vedere Figura 1.3):

Equivalente di Thévenin: un generatore ideale di tensione con tensione di Thévenin \(V_\mathrm{Th}\) in serie a una resistenza equivalente \(R_\mathrm{Th}\).
Equivalente di Norton: un generatore ideale di corrente \(I_\mathrm{N}=V_\mathrm{Th}/R_\mathrm{Th}\) in parallelo a una resistenza \(R_\mathrm{N}=R_\mathrm{Th}\).

La tensione di Thévenin corrisponde alla tensione presente sulla porta quando non è collegata a nulla. La resistenza equivalente è la resistenza “vista” dalla porta. In questi equivalenti, dato che vorrebbero descrivere un generatore, la corrente \(I>0\) è quella che esce dal morsetto a voltaggio più alto (convenzione opposta alla corrente di porta, \(I=-i\)). La tensione \(V\) sulla porta segue la legge

\[V(I)=V_\mathrm{Th}-R_\mathrm{Th}I, \tag{1.3}\]

mentre nell’equivalente di Norton abbiamo semplicemente la relazione duale:

\[I(V) = I_\mathrm{N}-G_\mathrm{N}V, \tag{1.4}\]

dove abbiamo la conduttanza \(G_\mathrm{N} = 1/R_\mathrm{N}=1/R_\mathrm{Th}\).

Dimostrazione

Thévenin. L’osservazione chiave è che il voltaggio \(V\) sulla porta e la corrente erogata \(I\) sono necessariamente vincolate fra di loro. Il modo più semplice per provarlo è immaginarsi di connettere la porta ad un generatore di corrente che estrae \(I\) dalla porta e si va ad aggiungere agli altri generatori presenti nella rete.

Grazie alla linearità, possiamo separare la risposta \(V\) della rete alle sorgenti interne (per definizione il voltaggio a \(I=0\) è \(V_\mathrm{Th}\)), da quella dovuta al nuovo generatore con corrente \(I\). Per calcolare il secondo contributo si spengono le sorgenti indipendenti della rete e ciò che rimane non è altro che la resistenza vista dalla porta \(R_\mathrm{Th}\). Poiché \(I\) è stata scelta positiva quando esce dalla rete, essa ha verso opposto alla corrente di prova positiva entrante usata per misurare la resistenza: il suo contributo alla tensione è quindi \(-R_\mathrm{Th}I\). La somma dei due termini dà Equazione 1.3.

Come dimostrazione alternativa, sappiamo che la relazione fra \(V\) e \(I\) deve essere lineare, dato che il problema è lineare: questo impone già la forma funzionale di Equazione 1.3. Imporre \(I=0\) corrisponde a lasciare la porta aperta, ergo \(V_\mathrm{Th}\) è la tensione a porta flottante. Da come varia \(V\) in funzione di \(I\), \(R_\mathrm{Th}\) corrisponde alla definizione di resistenza vista dalla porta.

Norton. Nell’equivalente duale di Norton, la tensione a porta aperta è \(I_\mathrm{N}R_\mathrm{N}=V_\mathrm{Th}\), mentre la resistenza vista, dopo aver aperto il generatore ideale di corrente, è \(R_\mathrm{N}=R_\mathrm{Th}\). I due circuiti hanno quindi la stessa relazione fra \(V\) e \(I\) alla porta. \(\blacksquare\)

1.4 Retta di carico

Per una qualsiasi porta descritta da un equivalente di Thévenin/Norton possiamo tracciare una retta che descrive la relazione che lega la corrente e voltaggio alla porta. Questa è detta retta di carico in quanto permette di determinare facilmente voltaggio e corrente effettivi in presenza di un carico connesso alla porta. La retta passa per due punti ovvi:

sull’asse \(V\), ossia a zero corrente ossia a porta aperta, e la retta passa per \(V=V_\mathrm{Th}\);
sull’asse \(I\), ossia a porta in corto e \(V=0\), e la retta passa per \(I=V_\mathrm{Th}/R_\mathrm{Th}\).

La soluzione in presenza di un carico si ottiene semplicemente incrociando questa retta descrivente le possibili configurazioni di tensione-corrente della porta con la caratteristica \(I(V)\) del carico, come illustrato in Figura 1.4. Un aspetto interessante connesso a questo è il trasferimento di potenza: nel caso di un resistore di carico \(R_L\) la potenza trasmessa

\[ P = VI = \frac{V^2_\mathrm{Th}R_\mathrm{L}}{(R_\mathrm{L}+R_\mathrm{Th})^2}, \]

che ha un massimo per \(R_\mathrm{L}=R_\mathrm{Th}\), ossia quando il carico è matchato con la resistenza di uscita. Questa relazione può essere ricavata imponendo \(\partial P/\partial R_\mathrm{L}=0\).

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Figura 1.4: La retta di carico è definita dalla relazione che descrive l’equivalente di Thévenin (verde). L’intersezione con la caratteristica \(I(V)\) del componente (blu) definisce il punto di lavoro (rosso).

1.5 Oltre le reti resistive

Con solo le resistenze non andiamo molto lontano, ma esistono delle ovvie estensioni che ci riportano sostanzialmente allo stesso formalismo.

1.5.1 Componenti reattivi

Nel modello a componenti condensati abbiamo tre bipoli elementari chiave: resistore, induttore e condensatore, come riassunto in Figura 1.5.

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Figura 1.5: I tre bipoli elementari: un resistore di resistenza \(R\), un induttore di induttanza \(L\) e un condensatore di capacità \(C\).

Senza ripercorrere da zero il formalismo dei fasori, che diamo per assodato, tutti questi bipoli sono descrivibili nel dominio delle frequenze dall’equazione \(v=Zi\). In conclusione, il formalismo precedente è estendibile a questo caso ammettendo impedenze complesse \(Z(\omega)\).

Osservazioni sui fasori

Si noti come è stato usato \(j\) per l’unità complessa, dato che \(i\) è spesso già utilizzato per indicare la corrente e questo può generare confusione. Si noti inoltre come il segno della fase \(e^{j\omega t}\) nei fasori in elettronica è opposto rispetto alla convenzione normalmente usata in fisica.

Infine, è bene ricordare che tutto il formalismo dei fasori ha senso solo nel limite lineare e al più può essere esteso (con attenzione) alla valutazione dei prodotti. Per esempio, se il voltaggio \(v(t)\) è la parte reale di \(v_0e^{j\omega t}\) e \(i(t)\) la parte reale di \(i_0e^{j\omega t}\), la potenza \(vi\) in funzione del tempo non è certo uguale a \(v_0i_0e^{2j\omega t}\), e invece il suo valore medio è pari a \(\mathrm{Re}[v_0^*i_0]/2=|v_0||i_0|\cos\varphi/2\), dove \(\varphi\) è lo sfasamento fra tensione e corrente: non riassumeremo qui queste regole, ma se non fossero immediatamente chiare è un buon momento per ristudiarle.

1.5.2 Componenti non-lineari

Ovviamente esistono molti componenti per cui \(V\) e \(I\) non sono scrivibili come valori proporzionali. Per esempio nel caso del diodo il modello di Shockley predice

\[I(V) = I_S\left[\exp\left(\frac{V}{\eta V_T}\right)-1\right]\]

dove \(I_S\) è la corrente di saturazione inversa, \(V_T=k_BT/e\approx 25\,\mathrm{mV}\) il voltaggio termico e \(\eta\) il fattore di idealità. In questo caso la linearità è persa, ma non del tutto. Possiamo infatti pur sempre definire

\[\begin{aligned} V(t) &= V_0+v(t)\\ I(t) &= I_0+i(t) \end{aligned}\]

dove decomponiamo voltaggi e correnti dipendenti dal tempo in termini di valore medio costante più una piccola deviazione dipendente dal tempo. Nel limite in cui ha senso fare una espansione lineare possiamo scrivere che

\[i = \frac{v}{r} = \left.\frac{dI}{dV}\right|_{V_0} v\]

dove abbiamo introdotto una resistenza differenziale \(r\), che nel caso del diodo ideale è pari a \(r\approx \eta V_T/I\). Senza entrare nei dettagli, è possibile costruire dei modelli dove si considerano anche gli effetti reattivi e più in generale una impedenza differenziale. La stessa procedura può essere ripetuta per tutte le equazioni che derivano da Kirchhoff, separando il problema in:

una parte a media costante, che descrive quello che chiamiamo punto di lavoro: le equazioni restano non-lineari e probabilmente risolvibili solo numericamente, le induttanze vanno rimpiazzate con dei cortocircuiti e i condensatori vanno rimossi;
una perturbazione per le piccole variazioni intorno al punto di lavoro: questa parte verrà descritta da un modello lineare ad impedenze complesse.

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Figura 1.6: Una rete contenente elementi non-lineari (a sinistra), può essere analizzata espandendo il problema in termini di un punto di lavoro statico e di piccole oscillazioni attorno a quest’ultimo. Le due componenti sono descritte da reti semplificate in modo diverso: la prima è statica ma non-lineare, e non contiene né condensatori né induttanze; la seconda è descrivibile nel dominio delle frequenze in termini di un sistema lineare con impedenze complesse.

Il concetto è riassunto in Figura 1.6 dove abbiamo variato la nostra rete di esempio sostituendo vari resistori con un diodo, un induttore e un condensatore. Si osservi che nel circuito lineare ad impedenze complesse, tutti gli elementi della matrice del sistema lineare risultante saranno frazioni di polinomi in \(j\omega,\) per via della forma funzionale delle impedenze complesse di condensatori e induttori. Questo ha delle implicazioni sulla forma funzionale delle funzioni di risposta del sistema, che rivedremo quando si parlerà di risposta in frequenza.

Ovviamente, non è detto che una approssimazione lineare sia sufficiente a descrivere la dinamica di un circuito. In questo caso non ci sono scorciatoie, si usano sempre le leggi di Kirchhoff per trasformare la rete in un sistema di equazioni, che in generale saranno differenziali… ma non c’è altra strada che risolverlo per quello che è e con tutte le sue complessità. Per esempio, a fine corso si vedrà come usare dei circuiti elettronici per riprodurre una dinamica caotica, che è diametralmente opposta al limite lineare qui considerato.

Quadripoli

Gli equivalenti di Thévenin e Norton hanno una ovvia estensione al caso di un sistema a più porte, nel caso di due porte questi sono descritti dai quadripoli (con la “i”, da non confondere con i quadrupoli con la “u” dell’elettrodinamica). Il formalismo è usato in elettronica per descrivere in maniera gerarchica sistemi a più stadi, ed è in grado di modellizzare anche sistemi lineari ad elementi distribuiti come le linee di trasmissione. In alcuni casi specifici possono essere anche usati per descrivere singoli componenti, il caso più ovvio sono i modelli lineari dei transistor. Questo approccio è qui solo rapidamente accennato come approfondimento opzionale, ma non verrà usato sistematicamente nel corso di Tecnologie Digitali per i seguenti motivi:

I quadripoli sono una sovrastruttura riconducibile alle leggi di Kirchhoff, nel senso che i circuiti possono sempre essere analizzati usando semplicemente quelle. L’astrazione e insight che ne possono derivare, combinati alla relativa semplicità dei circuiti studiati, portano un costo-beneficio non giudicato favorevole per questo specifico corso.
La validità di questo approccio non è blindata e si fonda su ipotesi relativamente subdole, non di rado sottaciute, che richiederebbero un minimo di pratica per essere usate in sicurezza. In particolare, deve valere la condizione di porta che nel caso di due porte non è scontata.

Quadripoli, in a nutshell. La descrizione di una rete lineare con più di una porta è sostanzialmente una estensione quasi ovvia degli equivalenti di Thévenin dove voltaggio e corrente di porta (usando la convenzione standard per le porte, ossia \(i\) entrante) sono legati dalla relazione lineare \(v=Zi+v_0\), dove \(Z\) è l’impedenza vista e \(v_0\) il voltaggio di Thévenin. Nel caso di due porte abbiamo semplicemente più variabili e la relazione lineare generale diventa

\[ \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_1 \\ i_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} v_{1,0} \\ v_{2,0} \end{pmatrix}. \tag{1.5}\]

Sebbene si possano definire anche dei quadripoli attivi, in genere il termine noto viene omesso dato che l’interesse è descrivere la risposta a piccole oscillazioni attorno al punto di lavoro. Restano quattro impedenze della matrice \(\mathcal{Z}\) e Equazione 1.5 può essere rappresentata come nello schema in Figura 1.7, che include due generatori controllati dalle correnti \(i_1\) e \(i_2\). Per esempio \(v_1=Z_{11}i_1+Z_{12}i_2\): il primo termine è attraversato da \(i_1\) quindi non è altro che una impedenza di porta, mentre il secondo è un generatore di voltaggio controllato da \(i_2\), tramite una “transimpedenza” \(Z_{12}\).

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  container.style.cssText = "width:100%;position:relative;margin:0 auto;";
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Figura 1.7: Reti a due porte. Nel limite in cui la condizione di porta è soddisfatta, una rete a quattro terminali può essere descritta da un modello a quadripolo (parametrizzazione \(Z\) illustrata in alto a destra). In basso a sinistra è riportata una rete che può facilmente rompere le condizioni di porta. In basso a destra è riportato un classico modello ibrido \(h\) per un transistor BJT.

Parametrizzazione \(Z\), \(Y\) e ibrida. Così come è possibile trasformare un equivalente di Thévenin nel suo duale, Norton, anche nel modello a quadripolo è possibile trasformare nello stesso modo ogni porta. Partendo dal modello \(Z\) già illustrato, le dualità permettono di definire altre tre parametrizzazioni alternative. Quella più ovvia è la \(Y\), dove le correnti \(\mathbf{i}=(i_1,i_2)\) sono descritte in termini dei voltaggi \(\mathbf{v}=(v_1,v_2)\)

\[ \mathbf{v} = \mathcal{Z}\mathbf{i},\implies \mathbf{i} = \mathcal{Y}\mathbf{v} \]

dove \(\mathcal{Y}=\mathcal{Z}^{-1}\) è una matrice di ammettenze — ammesso che \(\mathcal{Z}\) sia invertibile. Trasformando per dualità solo una delle due porte si ottengono due modelli ibridi: quello più famoso è il modello \(h\), spesso usato per i transistor bipolari (Figura 1.7, dove la porta \(1\) è la coppia B–E e la porta \(2\) la coppia C–E)

\[ \begin{pmatrix} v_1 \\ i_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_1 \\ v_2 \end{pmatrix}. \]

Qui \(h_{11}\) è l’impedenza di base, \(h_{21}=\beta\) il fattore di amplificazione della corrente e \(h_{22}=1/R_0\) è un modello per l’effetto Early. Prendendo il duale dell’altra porta si ottiene il meno comune modello ibrido \(g\). Oltre a queste parametrizzazioni, ne esistono anche altre di “trasferimento”, in cui le grandezze della porta di ingresso \((v_1,i_1)\) sono espresse in funzione di quelle della porta di uscita \((v_2,-i_2)\).

Perché andare oltre Kirchhoff? La teoria delle reti costruisce una sovrastruttura formale che può aiutare ad affrontare circuiti complessi in maniera efficiente

Astrazione. Spesso non siamo interessati a conoscere tutti i dettagli, componenti, nodi e maglie di uno stadio di amplificazione, e i parametri di porta sono un buon riassunto e tipicamente almeno in parte rintracciabili dai datasheet;
Generalità di approccio. Il formalismo va perfino oltre le reti a componenti condensati e può descrivere oggetti quali, per esempio, le linee di trasmissione, o una coppia di antenne di trasmissione e ricezione, ecc, ricostruendo l’intera catena di trasmissione di un segnale;
Regole di combinazione. Come per i bipoli esistono delle regole per le connessioni in serie e parallelo, anche per i quadripoli esistono regole di combinazione e semplificazione del tutto simili, che possono essere utili per analizzare combinazioni complesse di reti.

Usare con cautela. Il modello a quadripolo è sostanzialmente una descrizione ridotta, che vale per un sottoinsieme di tutte le casistiche che possono emergere dalle reti con quattro terminali e non andrebbe usato ciecamente. La validità del modello si fonda infatti sulla condizione di porta, che non è affatto difficile rompere… per esempio l’apparentemente innocuo schema a tre resistenze riportato in Figura 1.7 è già potenzialmente problematico. Da una semplice analisi, la descrizione a quadripolo in parametrizzazione \(Z\) è

\[ \mathcal{Z} = \begin{pmatrix} R_1 & 0\\ 0 & R_2 \end{pmatrix}, \]

un risultato alquanto sospetto dato che \(R_3\) è scomparsa dal modello… Sospetto, quanto corretto: \(R_3\) effettivamente non va inclusa in una descrizione a quadripolo. Questo paradosso ha una semplice spiegazione: non appena questa rete è inserita in un contesto in cui per qualsiasi motivo una corrente scorre in \(R_3\), la condizione di porta è rotta e il formalismo fornisce risultati sostanzialmente errati. Ne verrà fornito un esempio in Sezione 6.1.1.

Il caso dei tripoli. Molti quadripoli sono in realtà dei tripoli dove le due porte hanno un riferimento comune. Questo è il caso tipico dei modelli di BJT: in Figura 1.7 l’elettrodo E è un nodo comune ad entrambe le porte. In questo caso, è del tutto arbitrario dire se la corrente che esce da E va nella porta a sinistra o a destra. Di conseguenza, i quadripoli che in realtà sono tripoli soddisfano sempre la condizione di porta e non pongono quindi mai i problemi di validità sopra citati.

Le linee di trasmissione

Esistono vari componenti di uso piuttosto comune che spesso vengono considerati dei semplici “cavi”, ma di fatto sono elementi circuitali che possono avere comportamenti che vanno al di là dell’approssimazione ad elementi concentrati. Un caso molto comune è il cavo coassiale da \(50\ \Omega\), che è una guida d’onda bifilare, in cui tensione \(V(x,t)\) e corrente \(I(x,t)\) obbediscono a un’equazione di D’Alembert.

Dette \(c\) e \(l\) la capacità e l’induttanza per unità di lunghezza (qui trascuriamo le perdite), si può dimostrare che voltaggio e corrente lungo la linea di trasmissione soddisfano l’equazione di D’Alembert

\[\begin{cases} \dfrac{\partial I}{\partial x} = -c\,\dfrac{\partial V}{\partial t}\\[6pt] \dfrac{\partial V}{\partial x} = -l\,\dfrac{\partial I}{\partial t} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = 0, \tag{1.6}\]

con velocità di propagazione \(v = 1/\sqrt{lc}\). Come probabilmente dimostrato in altri corsi, la soluzione generale è una sovrapposizione di un’onda che viaggia verso destra e una verso sinistra, con voltaggi e correnti totali dati da

\[\begin{aligned} V(x,t) &= V_R(x - vt) + V_L(x + vt),\\ Z_0I(x,t) &= V_R(x - vt) - V_L(x + vt), \end{aligned} \tag{1.7}\]

dove \(Z_0 = \sqrt{l/c}\) è l’impedenza caratteristica della guida, che fissa il rapporto tra tensione e corrente nelle onde propaganti. Per un coassiale RG58 standard (“RG” sta per Radio Guide) si ha \(Z_0 = 50\ \Omega\) e \(v \approx 2c/3\), dove \(c\) qui è la velocità della luce.

Trasmissione e riflessione. Il resistore finale in Figura 1.8 impone \(V=R_LI\) a \(x=0\), ossia…

\[Z_0\left[V_R(-vt) + V_L(vt)\right] = R_L\left[V_R(-vt) - V_L(vt)\right],\]

da cui

\[V_L(vt) = \frac{R_L - Z_0}{R_L + Z_0}V_R(-vt) = rV_R(-vt), \tag{1.8}\]

dove \(r\) è una ampiezza di riflessione dovuta sostanzialmente a un mismatch di impedenza del carico \(R_L\) rispetto alla guida. Ne seguono alcuni limiti interessanti:

se \(R_L=Z_0\) non c’è alcuna riflessione: l’onda entra nella resistenza e viene dissipata;
se \(R_L=0\) abbiamo una riflessione negativa, che annulla il voltaggio totale a \(x=0\);
se \(R_L=\infty\) abbiamo una riflessione positiva, che annulla la corrente totale a \(x=0\).

La figura Figura 1.8 permette di lanciare un impulso lungo la linea e osservarne la riflessione nei tre casi e anche a \(R_L\) intermedie. Scegliendo “ON” è anche possibile vedere come sia possibile che questa dinamica possa conciliarsi con il classico comportamento “da filo” che ci siamo sempre aspettati: nel filo dovrebbe semplicemente instaurarsi un voltaggio causato dal partitore fra la resistenza del generatore \(50\,{\Omega}\) e quella di carico \(R_L\) e una corrente limitata dalle stesse due resistenze. Come illustrato, a parte la dinamica probabilmente poco ovvia con cui si instaura questa configurazione, non c’è in effetti alcuna contraddizione con i risultati dell’equazione di D’Alembert. Anzi, tutto questo mostra come conciliare risultati già noti con il fatto che qualsiasi cosa – inclusa una configurazione di voltaggio in un circuito di dimensioni finite – non si può instaurare in maniera istantanea ma bensì può solo propagare a velocità finita.

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Figura 1.8: Riflessione di un impulso o di un fronte d’onda su una linea di impedenza \(Z_0\) terminata su \(R_L\).

A frequenza finita tutto questo genera ulteriori stranezze, per le quali forniamo solo il risultato finale, e comportamenti decisamente contro-intuitivi. Se il carico è visto attraverso uno spezzone di guida lungo \(L\), l’impedenza “vista” dalla posizione \(x=-L\) — definita come il rapporto fra il voltaggio totale e la corrente totale — non è più \(R_L\) ma

\[Z = Z_0\, \frac{R_L\cos(2\pi L/\lambda) + jZ_0\sin(2\pi L/\lambda)} {Z_0\cos(2\pi L/\lambda) + jR_L\sin(2\pi L/\lambda)}, \tag{1.9}\]

che oscilla con periodo \(\lambda/2\) tra \(R_L\) e \(Z_0^2/R_L\), passando per valori intermedi complessi; questo è dovuto all’interferenza tra onda incidente e riflessa. Si noti che l’effetto è rilevante solo quando \(L\) non è trascurabile rispetto a \(\lambda\): nel limite \(L \ll \lambda\) con \(R_L \gg Z_0\), la Equazione 1.9 si riduce a \(R_L\), con una correzione al primo ordine data da una capacità in parallelo \(C = c L\), un risultato molto sensato dato che un cavo coassiale è in fondo un condensatore coassiale… o quantomeno si comporta come tale in questo limite! Per inciso, in un classico coassiale RG58 abbiamo circa \(c=100\,{\rm pF/m}\).

Oltre al condensatore citato in precedenza, questo è un altro sistema interessante in cui vedere all’opera il fallimento dell’approssimazione a componenti condensati. Per ricollegarsi tuttavia alla sezione opzionale precedente, in quanto sistema lineare a quattro terminali, questo coassiale potrebbe essere anche descritto con un quadripolo e la sua matrice di impedenze complesse.

Take-home

Alla fine di questo breve recap è fondamentale aver fatto un perfetto reboot dei seguenti concetti:

Le leggi di Kirchhoff e come usarle per trasformare una rete circuitale in un sistema di equazioni.
Conseguenze delle linearità del sistema di cui sopra, in particolare il principio di sovrapposizione.
Equivalenti di Thévenin e Norton, retta di carico e adattamento di impedenza.
Linearizzazione di un circuito generico in termini di punto di lavoro e rete lineare con impedenze complesse per le piccole oscillazioni.