6  Amplificatori operazionali

Questa sezione è dedicata agli amplificatori operazionali (OpAmp), partendo dal motivo per cui esistono e dal loro comportamento ideale. In seguito, vedremo in quali modi un OpAmp reale si discosta dal limite ideale; le applicazioni concrete sono raccolte nel capitolo successivo (Capitolo 7).

6.1 OpAmp ideale

Quando ci immaginiamo di costruire un amplificatore, lo scenario ideale è quello di un circuito che è semplicemente in grado di campionare un voltaggio in ingresso \(V_{\rm in}\), senza disturbarlo, e di produrre un voltaggio in uscita \(V_{\rm out}\) in grado di pilotare qualsiasi carico senza esserne disturbato, con una relazione perfettamente lineare

\[V_{\rm out} = GV_{\rm in}\]

dove il guadagno \(G\) è un numero che possiamo scegliere e regolare a piacere, e che non ha alcuna dipendenza complicata dalla frequenza. Gli amplificatori del mondo reale sono abbastanza lontani da questo e in vari modi:

• hanno resistenze di ingresso finite e disturbano il segnale che vogliamo amplificare;
• la relazione fra \(V_{\rm out}\) e \(V_{\rm in}\) non è affatto lineare;
• la stessa relazione probabilmente dipende dalla temperatura;
• la stessa relazione dipende quindi anche dal tempo, dato che i circuiti si scaldano;
• la resistenza di uscita non è zero, e il carico connesso ne può risentire.

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  container.style.cssText = "width:100%;position:relative;margin:0 auto;";
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}

Figura 6.1: Amplificatore a singolo transistor ad emettitore comune. Lo schema è semplice ma non ideale per rendere il comportamento stabile: verificare come cambiando il valore di \(R_P\) e della temperatura \(T\) il segnale amplificato (\(V_{\rm in}\) è una sinusoide di \(10\,{\rm mV}\) picco-picco, abbastanza lenta da rendere irrilevante \(C_{\rm in}\)) evolve in maniera abbastanza drastica.

Prendiamo per esempio il circuito di Figura 6.1: sia il punto di lavoro che il guadagno dipendono in maniera complicata dai vari componenti, fra cui per esempio dal resistore \(R_{P}\) e dal fattore \(\beta\), che a sua volta dipende dalla temperatura e quindi dalle condizioni di operazione. La resistenza di uscita vale ben \(\approx 2.2\,{\rm k\Omega}\) e quindi è abbastanza alta: questo circuito in generale trasferirà solo una frazione di \(V_{\rm out}\) al carico, a meno che questo non sia molto più resistivo di \(R_C\).

6.1.1 Feedback negativo

Sebbene i transistor siano ovviamente usati ovunque e questi problemi possano essere risolti, questo richiede tecniche e conoscenze che vanno al di là di quanto vogliamo esplorare qui, e per questo ci focalizzeremo quasi esclusivamente sugli OpAmp. L’idea di base è di sfruttare il concetto di retroazione negativa e un circuito ad altissimo guadagno per trasferire il controllo del comportamento del circuito dall’amplificatore stesso ad una rete di retroazione fatta con componenti passivi, che diversamente dall’amplificatore sono lineari, tendenzialmente più prevedibili e più stabili in temperatura.

import { renderFeedback } from "./_interactive/ch06-feedback.js"
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  container.style.cssText = "width:100%;position:relative;margin:0 auto;";
  yield container;
  renderFeedback(container);
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Figura 6.2: Sinistra: lo schema a blocchi illustra il concetto di retroazione negativa. Destra: guadagno ad anello chiuso \(G = A/(1+\beta A)\) in funzione del guadagno ad anello aperto \(A\) (entrambi gli assi logaritmici), per il \(\beta\) scelto con lo slider. La curva sale come \(G \simeq A\) (la retta di pendenza 1, tratteggio grigio) finché \(\beta A \ll 1\), poi piega intorno a \(\beta A = 1\) e satura sul plateau \(1/\beta\) (tratteggio verde).

Il concetto è illustrato nello schema a blocchi di Figura 6.2. L’amplificatore è rappresentato come un triangolo e riceve come input la differenza fra il segnale \(V_\text{in}\) e una frazione del segnale amplificato \(\beta V_{\rm out}\), dove un \(\beta<1\) sarà tipicamente un banale partitore resistivo, mostrato nello schema come un rettangolo verde. Questo schema “auto-limita” la risposta: data l’amplificazione \(A\) in assenza di retroazione, detta guadagno ad anello aperto o open loop, deve valere \(A\left(V_\text{in} - \beta V_\text{out}\right) = V_\text{out}\), da cui \[V_\text{out} = \frac{A}{1+\beta A}\, V_\text{in} = GV_\text{in}, \tag{6.1}\]

dove abbiamo introdotto il guadagno ad anello chiuso, o closed loop, \(G = A/(1+\beta A)\). Il prodotto \(\beta A\) che compare a denominatore è il guadagno che un segnale accumula percorrendo l’intero anello di retroazione, detto guadagno di anello o loop gain. Nel limite in cui il loop gain è grande, \(\beta A \gg 1\)

\[G = \frac{A}{1+\beta A} \;\to\; \frac{1}{\beta}, \tag{6.2}\]

ossia il guadagno ad anello chiuso non dipende più da \(A\) e dalle sue non idealità bensì solo dalla retroazione \(\beta\). Il partitore resistivo e il suo \(\beta\) sono molto più stabili in temperatura dell’amplificazione \(A\), non hanno complicate dipendenze dalla frequenza, e così via… quindi il circuito sarà molto meno dipendente dai “capricci” del blocco di amplificazione.

6.1.2 Implementazione pratica

Un OpAmp o amplificatore operazionale è un circuito differenziale ad alta amplificazione, che è rappresentato da un triangolo, come nel pannello (a) di Figura 6.3, ed ha

• un ingresso non invertente \(V_+\) (contrassegnato \(+\));
• un ingresso invertente \(V_-\) (contrassegnato \(-\));
• una uscita \(V_\text{out}\) sulla punta.

Sul triangolo compaiono anche le due alimentazioni, \(V_{S+}\) e \(V_{S-}\), che spesso nel disegno sono implicite ma esistono: un OpAmp è un componente attivo e va sempre alimentato, altrimenti non funziona.

Definizione 6.1: Amplificatore operazionale ideale

Un OpAmp ideale realizza una amplificazione differenziale \(V_\text{out} = A\,(V_+ - V_-)\) dove:

• il guadagno ad anello aperto è infinito, ossia \(A \to \infty\);
• le correnti d’ingresso sono nulle, \(i_+ = i_- = 0\) (impedenza di ingresso infinita);
• la resistenza d’uscita è nulla, \(R_\text{out} = 0\).

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import { renderOpAmpNonInvertente } from "./_interactive/ch06-opamp-noninvertente.js"
import { COL, UI_FONT } from "./_interactive/_style.js"
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  // due pannelli affiancati in proporzione 3:4. Quello di destra prende
  // la sua altezza NATURALE (padding compreso), e quello di sinistra si
  // alza fino a lì: si ridisegna ogni volta che l'altro cambia misura.
  // Sotto i ~560 px si impilano.
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  // le lettere dei pannelli, in alto a sinistra sopra la tela: stile di
  // ch01-lumped (semigrassetto, carattere dell'interfaccia), ma il 50%
  // più grandi (13 → 19.5 px): a 13 px, accanto ai simboli, sparivano
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  lettera(left, "(a)"); lettera(right, "(b)");
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Figura 6.3: Sinistra: il simbolo dell’amplificatore operazionale. Destra: lo schema di retroazione di Figura 6.2 qui non richiede nemmeno un sottrattore, dato che questo è integrato nella natura differenziale dell’OpAmp.

Il circuito nel pannello (b) chiaramente implementa lo schema di retroazione descritto, infatti abbiamo

\[V_{-}= \frac{R_1}{R_1+R_2}V_{\rm out} = \beta V_{\rm out},\]

e dato che \(V_+=V_{\rm in}\) abbiamo nuovamente \(A(V_{\rm in}-\beta V_{\rm out}) = V_{\rm out}\), e possiamo dedurne la stessa relazione già ottenuta in precedenza

\[V_{\rm out} \simeq \frac{1}{\beta}V_{\rm in} = \left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)V_{\rm in},\]

ossia il circuito si comporta come un amplificatore a guadagno positivo \(G=1+R_2/R_1\).

Osserviamo qui l’effetto pratico della retroazione negativa: il collegamento “auto-limitante” cerca di sopprimere la differenza fra i due ingressi differenziali, portando \(V_-\) vicino a \(V_+\) in modo da mantenere in uscita un voltaggio finito. Questo ci porta alle seguenti regole operative che useremo spesso, valide per un OpAmp ideale in condizioni di retroazione negativa:

Definizione 6.2: Regole d’oro degli OpAmp

Dato un OpAmp ideale (e in particolare \(A\to\infty\)) con retroazione negativa, il circuito si può risolvere sostituendo l’OpAmp con i seguenti vincoli di rete:

1. Voltaggi di ingresso coincidenti, \(V_+ = V_-\);
2. Nessuna corrente in ingresso \(i_+ = i_- = 0\).

Si noti che non c’è nessuna prescrizione esplicita sul valore di \(V_{\rm out}\), che è matemtaticamente fissato dalle due regole. Ovviamente fisicamente succede il contrario e \(V_{\rm out}\) cambia fino a rendere vere le regole.

AttenzioneCome è possibile che la somma delle correnti non sia nulla?

Il seguente dubbio potrebbe sorgere: se agli ingressi abbiamo \(i_\pm=0\) e il terminale di output eroga (palesemente) una corrente finita, allora la somma delle correnti dell’OpAmp nel pannello (b) di Figura 6.3 è apparentemente non nulla. Questo finto paradosso dipende dal fatto che non stiamo guardando tutte le connessioni: un OpAmp è un dispositivo attivo e alimentato: esistono anche le correnti di alimentazione che non sono certo nulle e fanno tornare la somma zero.

AttenzioneAlimentazioni: nomenclature e altri dettagli

Gli OpAmp hanno tipicamente una alimentazione duale, ossia vanno connessi ad una sorgente di voltaggio positiva e ad una negativa per funzionare. Esistono varie convenzioni per i nomi dei voltaggi di alimentazione, che possono essere trovate nei datasheet, in particolare

• Alimentazione positiva: \(V_{S+}\), \(V_{CC}\) oppure \(V_{DD}\), dove \(C\) sta per collettore e \(D\) per drain;
• Alimentazione negativa: \(V_{S-}\), \(V_{EE}\) oppure \(V_{SS}\), dove \(E\) sta per emettitore e \(S\) per *source”.

Il nome usato è anche un buon indizio sulla tecnologia costruttiva degli OpAmp: un integrato con alimentazione positiva \(V_{CC}\) è quasi certamente costruito con dei transistor BJT, mentre uno con \(V_{DD}\) contiene dei transistor ad effetto campo.

Mentre i primi OpAmp integrati avevano spesso alimentazioni anche superiori a \(\pm 10\,{\rm V}\), oggi spesso gli OpAmp hanno voltaggi molto inferiori e a volte lavorano in alimentazione singola, con segnali che tuttavia oscillano non più rispetto a zero ma rispetto ad un voltaggio intermedio (quindi di fatto la differenza è opinabile, più che altro è necessario qualche accorgimento per ottenere il riferimento intermedio). Questa evoluzione è dovuta in primis alla diffusione di dispositivi a batteria e a basso consumo. Una evoluzione direttamente connessa è che gli OpAmp più moderni hanno una uscita che è in grado di raggiungere i voltaggi di alimentazione, cosa che non era affatto vera con gli schemi di OpAmp più datati.

6.1.3 Altre configurazioni fondamentali

Usiamo le regole d’oro per analizzare altri circuiti chiave riportati in Figura 6.4. Nell’amplificatore invertente a sinistra la prima regola impone \(V_+=V_-=0\), da cui la corrente che attraversa \(R_1\) vale

\[i = \frac{V_{\rm in}}{R_1}\]

ma, per la seconda regola, dato che l’ingresso invertente non assorbe nulla, tale corrente \(i\) non può fare altro che proseguire su \(R_2\) fino a dare il voltaggio di uscita

\[V_{\rm out} = -R_2i = -\frac{R_2}{R_1}V_{\rm in},\]

quindi in questo caso abbiamo un amplificatore con guadagno negativo \(G=-R_2/R_1\). Chiaramente, quello che succede davvero non è che la corrente \(i\) prosegue su \(R_2\) perché non ha altro luogo dove andare: in realtà è \(V_{\rm out}\) che cambia fino ad annullare la differenza fra i due ingressi e quindi fino a portare \(V_-\) a voltaggio nullo, riproducendo i vincoli matematici dei nostri calcoli.

Nel circuito a destra la situazione è ancora più semplice dato che \(V_-\) è cortocircuitato con \(V_{\rm out}\) e la prima regola impone \(V_{\rm in}= V_+=V_-=V_{\rm out}\). Questo circuito apparentemente inutile viene detto un buffer o inseguitore di tensione e non fa altro che misurare con un morsetto ad alta impedenza il voltaggio in ingresso, per poi rilanciarlo identico su una uscita a bassa impedenza. Questo idealmente elimina i problemi di adattamento di impedenza e disaccoppia i circuiti a monte da quelli a valle.

import { renderOpAmp } from "./_interactive/ch06-opamp-config.js"
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  const container = document.createElement("div");
  container.style.cssText = "width:100%;position:relative;margin:0 auto;";
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  renderOpAmp(container);
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Figura 6.4: Altri due montaggi fondamentali: un amplificatore invertente e un buffer, o inseguitore di tensione.

6.2 Gli OpAmp reali

Esistono vari modi in cui un OpAmp reale si discosta da quanto descritto in Sezione 6.1. A seconda dei casi le non-idealità sono più o meno gravi, più o meno mitigate dalla grossa amplificazione, più o meno concettuali. La prima ovvia non-idealità è che l’amplificazione non è infinita ma solo molto grande (in genere \(10^5\) è un numero realistico). A seguire, abbiamo che le resistenze di ingresso e uscita non sono quelle che vorremmo:

• la resistenza di ingresso di un OpAmp non è infinita;
• la resistenza di uscita di un OpAmp non è nulla.

Qui un aspetto concettualmente interessante è che entrambi i problemi sono mitigati dalla retroazione negativa. Per esempio se il circuito ha una resistenza differenziale \(R_{\rm in}\), fintanto che la retroazione impone \(V_+=V_-\) la corrente assorbita dal circuito resta comunque nulla, quindi non assorbe comunque corrente.

AttenzioneRetroazione e impedenza di ingresso/uscita

Impedenza di ingresso. Possiamo essere più quantitativi prendendo lo schema in Figura 6.5, a sinistra, dove assumiamo che fra i due ingressi ci sia una resistenza differenziale finita \(R_{\rm in}\). Ne consegue

\[ i_{\rm in} = i_+ = -i_- = \frac{V_+-V_-}{R_{\rm in}}, \]

ossia una differenza fra \(V_+\) e \(V_-\) fa sì che una corrente \(i_{\rm in}\) entri in \(V_+\) per poi uscire da \(V_-\). Se l’amplificazione è grande ma non infinita, i due voltaggi non sono uguali e abbiamo \(V_+-V_-=V_{\rm out}/A\) da cui

\[i_{\rm in} = \frac{V_+-V_-}{R_{\rm in}} = \frac{V_{\rm out}}{AR_{\rm in}} = \frac{GV_{\rm in}}{AR_{\rm in}} \approx \frac{V_{\rm in}}{\beta A R_{\rm in}},\]

ossia la retroazione rende la resistenza di ingresso dell’amplificatore più grande di un fattore circa \(\beta A\), ossia \(\beta AR_{\rm in}\). Un calcolo esatto (qui \(G\approx 1/\beta\) e il valore preciso dipende sia dalla \(A\) finita che da \(R_{\rm in}\)) porta a

\[\frac{V_{in}}{i_{in}} = R_{in}\Big[1+\beta\Big(A+\frac{R_2}{R_{in}}\Big)\Big]. \tag{6.3}\]

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  container.style.cssText = "width:100%;position:relative;margin:0 auto;";
  yield container;
  renderOpAmpNonInvertenteRinRout(container);
}

Figura 6.5: Due amplificatori non-invertenti dove sono inserite: a sinistra, una resistenza di ingresso finita \(R_{\rm in}\); a destra, una resistenza di uscita \(R_{\rm out}\). La retroazione idealmente cancella completamente i loro effetti.

Impedenza di uscita. La retroazione riduce anche gli effetti di una eventuale resistenza di uscita \(R_{\rm out}\): questo causa una caduta di potenziale \(R_{\rm out}\,i_{\rm out}\) proporzionale alla corrente \(i_{\rm out}\) e quindi

\[V_{\rm out} = A\,(V_+-V_-) - R_{\rm out}\,i_{\rm out}.\]

La retroazione riporta all’ingresso invertente \(V_- = \beta V_{\rm out}\), quindi dato che \(V_+=V_{\rm in}\) l’equazione di retroazione si chiude con \(V_{\rm out} = A\,(V_{\rm in}-\beta V_{\rm out}) - R_{\rm out}\,i_{\rm out}\) che implica

\[V_{\rm out} = \frac{A}{1+\beta A}\,V_{\rm in} - \frac{R_{\rm out}}{1+\beta A}\,i_{\rm out}. \tag{6.4}\]

Questo è un equivalente di Thévenin (Teorema 1.1) con un generatore a voltaggio \(G\,V_{\rm in}\), con il solito \(G = A/(1+\beta A)\), in serie a una resistenza di uscita

\[\frac{R_{\rm out}}{1+\beta A} \approx \frac{R_{\rm out}}{\beta A}, \tag{6.5}\]

ossia la retroazione riduce la resistenza di uscita dello stesso fattore \(\beta A\) di cui aumenta quella di ingresso. Qui dovremmo considerare che in uscita pilotiamo sia il partitore di retroazione, sia il carico: questo abbatterà leggermente il guadagno e la resistenza di uscita sarà il parallelo fra la resistenza di Equazione 6.5 e \(R_1+R_2\), ma queste sono correzioni tipicamente irrilevanti.

Proseguendo con effetti meno ovvi da ignorare, abbiamo

Voltaggio di offset \(V_{\rm off}\)

Un OpAmp reale non è mai perfettamente bilanciato e ha una tensione di offset \(V_{\rm off}\), che si somma alla differenza dei due ingressi, quindi il nostro modello andrebbe aggiornato come \[V_{\rm out} = A\,(V_+ - V_- + V_{\rm off}), \tag{6.6}\] dove \(V_{\rm off}\) può a volte essere corretto grazie a degli ingressi di trimming, presenti in particolare negli OpAmp di design più vecchio (quelli più nuovi sono spesso bilanciati uno per uno in fabbrica).

Corrente di bias \(i_B\)

Per motivi costruttivi su cui qui sorvoliamo (si rimanda alla sezione opzionale in seguito per chi è interessato), gli ingressi non solo possono avere una corrente non-nulla, ma perfino una sostanzialmente fissa che non dipende dai voltaggi \(V_\pm\).

Caratteristiche di uscita

I limiti in uscita degli OpAmp reali sono vari ed è bene ricordarne almeno qualcuno fondamentale:

• la corrente in uscita ha un limite, spesso non molto elevato, tipicamente poche decine di mA;
• la velocità di variazione del voltaggio \(dV_{\rm out}/dt\), o slew rate, ha anch’essa dei limiti… si noti che questo è un vincolo non-lineare complicato, con un impatto sulla risposta in frequenza.

Modo comune vs. differenziale

La relazione che lega \(V_{\rm out}\) agli ingressi in generale include:

• una risposta a modo comune \(V_{\rm out} = A(V_+-V_-)+A_{\rm cm}(V_++V_-)/2\), dove \(A_{\rm cm}\) in generale sarà piccola e quantificata da un common mode rejection ratio \(A/A_{\rm cm}\);
• una risposta non banale in frequenza, discussa a parte.

Si noti che non si è parlato di non-linearità, non tanto perché non ci siano, ma perché dato che in un OpAmp avremo in genere \(V_+\approx V_-\) è improbabile si manifestino in maniera forte, quantomeno sulla risposta differenziale che ci interessa.

AttenzioneDa dove arriva la corrente di bias?!

L’esistenza di una corrente di bias che - questione controintuitiva - è tendenzialmente presente a prescindere dal valore di \(V_+\) e \(V_-\) può essere solo capita andando a guardare come sono costruiti gli OpAmp.

Origine. Lo stadio di ingresso di un OpAmp è sempre costituito da una qualche variante dello schema a transistor in Figura 6.6, dove è presente una così detta coppia differenziale. Senza entrare nei dettagli, questo circuito è particolarmente responsivo alla differenza fra i due voltaggi di ingresso. In condizioni di equilibrio e con un voltaggio che rende i due transistor conduttivi, è chiaro che la corrente \(I_E\) richiamerà dalle due basi una corrente \(I_B\approx I_E/(2\beta)\), che non è nulla a prescindere dai voltaggi di base. Di fatto, è la corrente necessaria a tenere in funzione lo stadio di ingresso.

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Figura 6.6: A sinistra la coppia differenziale \(T_1\)–\(T_2\) con la corrente di coda \(I_E\): i due ingressi \(V_-\) e \(V_+\) sono le basi dei transistor, ed è da lì che entra la corrente di bias. A destra un possibile schema di compensazione: fra \(V_{in}\) e il morsetto \(+\) le stesse \(R_1\) e \(R_2\) del partitore, messe in parallelo, cioè \(R = R_1\|R_2\) di Equazione 6.8.

In ogni OpAmp questo schema può essere un po’ diverso, magari con delle coppie di Darlington, o altre soluzioni, ma tipicamente il tutto causerà una \(I_B\) finita. Vale solo la pena di ricordare che esistono gli OpAmp con ingressi a transistori ad effetto di campo, dove l’elettrodo di controllo del transistor è sostanzialmente accoppiato capacitivamente, rendendo le correnti di ingresso particolarmente piccole. Per essere concreti, non è strano che in ingresso di un OpAmp costruito con transistor a giunzione si possano registrare vari nA, mentre per un OpAmp con ingresso costruito con transistori ad effetto di campo tale valore può facilmente scendere ai pA o sotto.

Conseguenze e mitigazioni. Supponiamo ora \(i_B \neq 0\) e, per isolare l’effetto, \(A \to \infty\) (regole d’oro valide). Consideriamo il non invertente con ingresso a massa, \(V_{in} = 0\): al morsetto invertente c’è una massa virtuale, quindi su \(R_1\) (che va a massa) non cade tensione e in essa non scorre corrente; tutta la corrente di bias del morsetto \(-\) deve allora richiudersi attraverso \(R_2\), e produce

\[V_{out} = R_2\,i_B,\]

ossia un’uscita non nulla a ingresso nullo; lo si vede riscrivendolo come un termine equivalente riferito all’ingresso

\[V_{out} = R_2\,i_B = G\cdot\frac{R_1}{R_1+R_2}\,R_2\,i_B = G\cdot\Big[\,\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}\,i_B\,\Big]. \tag{6.7}\]

La corrente di bias crea un offset equivalente in ingresso pari a \((R_1\|R_2)\,i_B\), cioè al parallelo delle due resistenze del ramo di feedback moltiplicato per \(i_B\).

Il rimedio è banale: se le due correnti di bias sono all’incirca uguali, basta far cadere loro la stessa tensione, così che il primo stadio veda un contributo di modo comune che si cancella. Si inserisce perciò una resistenza di compensazione in serie all’altro ingresso, di valore pari al parallelo che l’ingresso invertente vede verso massa e verso l’uscita:

\[R = R_1\,\|\,R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}. \tag{6.8}\]

Nel non invertente questa \(R\) va fra la sorgente e il morsetto \(+\), come in Figura 6.6; nel montaggio invertente (con \(V_{in}\)–\(R_1\) al nodo \(-\) e \(R_2\) in feedback) è la resistenza dal morsetto \(+\) a massa. Tali componenti, apparentemente inutili dato che si trovano su parti del circuito dove non dovrebbe scorrere corrente, servono a compensare gli effetti delle correnti di bias.

6.2.1 Compensazione in frequenza

Come qualsiasi sistema fisico, un amplificatore include inevitabilmente dei ritardi di propagazione che si traducono in uno sfasamento che cresce nella frequenza: questi sono tipicamente causati da capacità parassite e dalle conseguenti risposte passa-basso che generano. Quindi è inevitabile che si abbia

\[A(\omega) = |A(\omega)|\,e^{-j\varphi(\omega)},\]

con un \(\varphi(\omega)\) che presto o tardi cresce con la frequenza. Ecco quindi che combinare un circuito ad alta amplificazione con un meccanismo di retroazione può facilmente portare a situazioni problematiche. Infatti, nell’equazione

\[V_{out}(\omega) = \frac{A(\omega)}{1+\beta A(\omega)}\,V_{in}(\omega), \tag{6.9}\]

la retroazione è considerata negativa nel senso che il segnale rimandato in ingresso tende a sopprimere la risposta… ma se \(\varphi\to\pi\), e quindi \(A<0\), è chiaro che in realtà la retroazione diventa positiva e il circuito tende invece ad amplificare la distanza fra \(V_+\) e \(V_-\), infrangendo tutte le nostre ipotesi di lavoro.

Più in generale, non appena gli zeri \(1+\beta A(\omega)=0\) si trovano ad una \(\omega\) con parte immaginaria negativa, il sistema supporta una soluzione libera divergente, ossia è instabile. Si noti che non è importante se costruiamo un circuito per lavorare a \(10\,{\rm kHz}\) e questa instabilità si sviluppa solo intorno a \(10\,{\rm MHz}\): il circuito comunque sarà instabile e oscillerà o saturerà da qualche parte.

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  renderCompensazione(container);
}

Figura 6.7: Diagramma di Bode di un amplificatore con \(A_0 = 10^5\) e tre poli reali a \(f_{p1}\), \(f_{p2}\), \(f_{p3}\). Questa risposta è moltiplicata per un polo di compensazione alla frequenza \(f_c\) della banda grigia, trascinabile con il mouse. Nei piani di Gauss (assi in scala logaritmica simmetrica \(-1\,{\rm GHz}\)-\(+1\,{\rm GHz}\) con il range \(\pm 1\,{\rm Hz}\) equiparato a zero) sono rappresentati i poli del guadagno a cicuito aperto \(A(\omega)\) e della funzione \(G(\omega)\) di un amplificatore con retroazione negativa con fattore reale \(0<\beta< 1\). Cambiando i parametri, ogni volta che il polo passa sul lato destro e diventa rosso l’amplificatore diventa instabile.

Polo dominante. Come si può evitare questo problema? Partiamo dal discuterne l’origine: un circuito con una amplificazione molto alta, nonostante ci si aspetti in generale sia una soppressione di \(|A(\omega)|\) che una crescita di \(\varphi(\omega)\) al crescere di \(\omega\), è probabile che raggiunga \(\varphi(\omega)=\pi\) quando \(A(\omega)\) è ancora forte, producendo una retroazione positiva. La soluzione quindi è di sopprimere l’amplificazione prima che questo succeda.

Gli OpAmp sono progettati apposta per non oscillare quando la retroazione è resistiva pura ossia con \(\beta\) reale e \(0 < \beta \le 1\). Per ottenere questo risultato, chi disegna gli OpAmp introduce nella sua funzione di risposta un meccanismo di filtro passa basso molto forte, che sopprime l’amplificazione a partire da pochi Hertz e che domina la dipendenza in frequenza di \(A(\omega)\). Nel così detto limite del polo dominante scriveremo

\[A(\omega) = \frac{A_0}{1+j\omega\tau_0}, \tag{6.10}\]

dove la costante \(A_0\) descrive il guadagno in continua e \(f_c = 1/(2\pi\tau_0)\) è una frequenza di taglio, tipicamente di pochi Hertz. Oltre questa frequenza \(|A(\omega)|\) cala come \(1/\omega\), mentre il ritardo di fase che il polo introduce rimane circa uguale a \(\pi/2\). Questo meccanismo serve a portare il guadagno sotto l’unità prima che intervengano altri meccanismi di ritardo e sfasamento dell’OpAmp, mantenendolo in un regime di funzionamento stabile.

La stabilità di un OpAmp si può quantificare in due modi complementari illustrati nel box a seguire.

Definizione 6.3: Gain margin e phase margin

Sia \(\omega_1\) la pulsazione a cui la fase raggiunge \(\varphi(\omega_1) = \pi\) e \(\omega_2\) quella a cui il modulo del guadagno d’anello scende a \(|A(\omega_2)| = 1\). Si definiscono il margine di guadagno (gain margin)

\[k_m = \frac{1}{|A(\omega_1)|}\]

e il margine di fase (phase margin)

\[\varphi_m = \pi - \varphi(\omega_2)\]

Un componente è stabile e ben smorzato quando valgono \(k_m > 1\) e \(\varphi_m > 0\).

6.2.2 Un modello lineare completo

Mettendo insieme tutte le imperfezioni si arriva al modello a tre stadi in Figura 6.8, che serve solo a scopi illustrativi e riassuntivi: non lo useremo sostanzialmente mai. Si noti che il modello non vuole rappresentare la reale struttura di un OpAmp, ma solo riprodurre la fenomenologia del suo comportamento.

Stadio d’ingresso

Un generatore di offset \(V_{\rm off}\) in serie a un morsetto, i due generatori di corrente di bias \(I_{b1}\), \(I_{b2}\), le impedenze di ingresso di modo comune (un ramo \(2R_{i,cm}\|2C_{i,cm}\) da ciascun ingresso a massa) e l’impedenza differenziale \(R_{i,d}\|C_{i,d}\) fra i due ingressi.

Stadio di guadagno

Generatori pilotati — uno differenziale \(A_{0,d}\) e due di modo comune \(A_{0,cm}/2\) — che pilotano una rete \(R_{\rm bw}\)–\(C_{\rm bw}\); è questa rete a fissare il polo dominante della risposta.

Stadio d’uscita

Un buffer con la resistenza \(R_{\rm out}\) in serie verso \(V_{\rm out}\).

import { renderOpAmpReale } from "./_interactive/ch06-opamp-modello.js"
{
  const container = document.createElement("div");
  container.style.cssText = "width:100%;position:relative;margin:0 auto;";
  yield container;
  renderOpAmpReale(container);
}

Figura 6.8: Un modello lineare efficace con tutte le principali non idealità di un circuito OpAmp reale.

6.3 Il prodotto banda-guadagno

L’esistenza di un polo dominante imposta una scala di frequenza caratteristica, che limita l’amplificazione e la banda del circuito: più si amplifica e più presto il guadagno decade con la frequenza. Assumendo una retroazione resistiva con \(\beta\) reale, il guadagno vale

\[G(\omega) = \frac{A(\omega)} {1+\beta A(\omega)} = \frac{A_0}{(1+\beta A_0) + j\omega\tau_0} = \frac{A_0}{1+\beta A_0}\cdot \frac{1}{1+j\omega\,\dfrac{\tau_0}{1+\beta A_0}}.\]

Il risultato è ancora una risposta a singolo polo \(G(\omega) = G_0/(1+j\omega\tau)\) con guadagno a frequenza nulla \(G_0\) e una costante di tempo \(\tau\) date da

\[G_0 = \frac{A_0}{1+\beta A_0}, \qquad \tau = \frac{\tau_0}{1+\beta A_0}. \tag{6.11}\]

La retroazione abbassa il guadagno (da \(A_0\) a \(G_0 \simeq 1/\beta\)) e nello stesso rapporto accorcia la costante di tempo (da \(\tau_0\) a \(\tau\)): l’amplificatore chiuso è piatto fino alla sua frequenza di taglio o larghezza di banda

\[f_t = \frac{1}{2\pi\tau} = \frac{1+\beta A_0}{2\pi\tau_0}. \tag{6.12}\]

Definizione 6.4: Prodotto guadagno–banda

Il prodotto fra guadagno a frequenza nulla e la banda non dipende dal guadagno scelto ed è costante:

\[\mathrm{GBWP} = G_0\cdot f_t= \frac{A_0}{1+\beta A_0}\cdot\frac{1+\beta A_0}{2\pi\tau_0} = \frac{A_0}{2\pi\tau_0} = \text{cost}. \tag{6.13}\]

Il prodotto guadagno–banda (Gain–Bandwidth Product) è una figura di merito del componente, pari ad \(A_0/(2\pi\tau_0)\), cioè alla frequenza di taglio a guadagno unitario.

La Figura 6.9 rende visibile questa costruzione.

import { renderGBW } from "./_interactive/ch06-gbw.js"
{
  const container = document.createElement("div");
  container.style.cssText = "width:100%;position:relative;margin:0 auto;";
  yield container;
  renderGBW(container);
}

Figura 6.9: Diagramma di Bode (modulo) del guadagno ad anello aperto \(A(\omega) = A_0/(1+j\omega\tau_0)\) con polo dominante (curva blu) e del guadagno ad anello chiuso \(G(\omega)\) (curva verde), sovrapposti alla retta orizzontale del guadagno ideale \(1/\beta\) (banda grigia), che si trascina in verticale per scegliere il guadagno. Sono marcati il polo dominante \(f_c\), la banda ad anello chiuso \(f_t\) e la GBWP.

ImportanteTake-home

Messaggi importanti da ricordare alla fine del capitolo

• Regole d’oro degli OpAmp ideali e loro applicazione ai circuiti con retroazione negativa;
• Tutti i modi in cui un OpAmp reale devia da uno ideale, quali sono gli effetti automaticamente soppressi dalla retroazione e quali rimangono;
• Compensazione in frequenza: che problema risolve? Come lo risolve? Che conseguenze ha?
• Prodotto banda-guadagno