5 Risposta in frequenza
Questo capitolo è un recap sulle funzioni di risposta: come una rete di componenti reattivi diventa un sistema di equazioni differenziali, che cosa sono la funzione di Green e la funzione di risposta \(\mathcal{H}(\omega)\), e come si legge un circuito dai suoi poli e dai suoi zeri su un diagramma di Bode.
5.1 Equazioni differenziali di rete
Passando alle reti con componenti reattivi, la formulazione matematica che deriva dalle leggi di Kirchhoff diventa quella di un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Come noto, nel dominio delle frequenze il problema torna ad essere solo algebrico con delle impedenze complesse, ma vale la pena rivedere qualche dettaglio.
A sinistra in Figura 5.1 è riportato un classico partitore RC che si comporta da filtro passa basso. Lo schema include una sola maglia con \(V_{in}=Q/C+RI\), dove \(R\) e \(C\) sono i valori dei componenti, \(Q\) la carica sul condensatore e \(I=\dot Q\) la corrente. \(V_{in}(t)\) è la forzante, e \(Q(t)\) la risposta primaria, da cui possiamo derivarne altre, come \(V_{out}(t)\). Il comportamento è formalizzabile come un problema di Cauchy
\[\begin{cases} \;\tau\,\dot Q(t)+Q(t)=C\,V_{in}(t)\\ \;Q(0)=Q_0, \end{cases} \tag{5.1}\]
dove \(\tau=RC\) è il tempo caratteristico del circuito e, come differenza chiave rispetto alle reti resistive, siamo passati ad una descrizione differenziale. Abbiamo inoltre introdotto una condizione iniziale \(Q_0\) che tiene traccia di un nuovo grado di libertà del sistema fisico: la carica accumulata sul condensatore. Come per tutti i sistemi lineari di equazioni differenziali, in generale vogliamo avere:
Soluzione particolare \(Q_{part}(t)\)
Si ricorda che con questa dicitura si intende una qualsiasi soluzione dove la forzante non è nulla, e le condizioni iniziali sono ignorate. Questa è tipicamente la soluzione ottenuta con i fasori, per esempio qui
\[\hat Q(\omega)=\frac{C}{1+j\omega\tau}\,\hat V_{in}(\omega),\]
e quindi tornando ad una descrizione a variabili reali e in funzione del tempo
\[Q_{part}(t)=\frac{C\,V_0}{\sqrt{1+\omega^2\tau^2}}\cos(\omega t-\varphi), \qquad \tan\varphi=\omega\tau.\]
Si noti che qui \(Q_{part}(0)\) è un numero che dipende dai parametri del sistema e non viene fatto alcun tentativo di farlo corrispondere a delle specifiche condizioni iniziali.
Soluzione/i omogenea/e \(Q_1(t)\)
In questo caso si parla di un insieme di soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione differenziale con forzante rimossa, ossia in questo caso semplicemente
\[\tau\,\dot Q+Q=0, \tag{5.2}\]
con banale soluzione \(Q_1(t)\propto e^{-t/\tau}\). In generale sarà necessario avere un numero di soluzioni omogenee linearmente indipendenti pari al numero di condizioni iniziali del problema.
Senza ripercorrere le conclusioni già discusse in precedenti corsi di matematica, questo è sufficiente a costruire la soluzione generale del problema, ossia con forzante e una condizione iniziale generica
\[Q(t)= Q_{part}(t)+\sum_{i=1}^{N=1}\alpha_iQ_i(t),\]
dove il parametro \(\alpha_1\) (ed eventuali altri se le soluzioni omogenee linearmente indipendenti sono di più, come segnalato dalla somma con un solo termine) è una costante libera che permette di aggiustare la condizione iniziale. Se abbiamo un set completo di equazioni omogenee linearmente indipendenti, questo è sempre possibile. Finché il sistema è stabile, le soluzioni omogenee tendono a sparire nel tempo per via della dissipazione e costituiscono quelli che si chiamano transienti. Quello che resta è la soluzione particolare ottenuta con i fasori, che possiamo anche chiamare per contrasto soluzione asintotica. Dato che i transienti in genere durano davvero poco, non di rado vengono ignorati in questi studi.
5.1.1 Convoluzione e funzione di Green
Scriviamo nel dominio delle frequenze il voltaggio di uscita in funzione del voltaggio di ingresso, nel caso specifico abbiamo \(V_{out} = Q/C\) e per questa risposta la relazione è
\[\hat{V}_{out}(\omega)=\frac{1}{1+j\omega\tau}\,\hat{V}_{in}(\omega)=\mathcal{H}(\omega)\,\hat{V}_{in}(\omega)\]
e può essere riscritta nel tempo come segue, con una convoluzione
\[V_{out}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} G(t')\,V_{in}(t-t')\,dt'\;+\;V_1e^{-t/\tau}. \tag{5.3}\]
Qui si osservi che imponendo \(\hat{V}_{in}(\omega)=1\), pari a un impulso di Dirac \(V_{in}(t)=\delta(t)\) nel tempo, si ottiene \(\hat{V}_{out}(\omega)=\mathcal{H}(\omega)\). Quindi l’antitrasformata \(G(t)\) è anche la risposta impulsiva o funzione di Green del sistema: l’uscita causata da una forzante in ingresso uguale ad una delta di Dirac. Per il filtro RC, riscrivendo \(\mathcal{H}(\omega)=1/(1+j\omega\tau)\), abbiamo
\[G(t)=\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}\,\theta(t). \tag{5.4}\]
Si noti che \(G\) si annulla per \(t<0\), come atteso per una risposta causale: \(V_{out}(t)\) può dipendere solo da stati passati della forzante \(V_{in}(t)\).
AttenzioneVerifica: \(G(t)\) soddisfa davvero l’equazione differenziale?
Innanzi tutto aggiorniamo l’equazione per \(V_{out}(t)=Q(t)/C\), che ora diventa \(\tau dV_{out}/dt + V_{out}(t) = V_{in}(t)\). A questo punto proviamo ad inserire \(V_{out}(t)=G(t)\) come risposta e calcoliamo quale forzante ne ricaviamo, partendo dal calcolo della derivata
\[\frac{dG}{dt} = \frac{\delta(t)}{\tau} - \frac{1}{\tau^2}e^{-t/\tau}\theta(t)\]
che a questo punto ci permette di scrivere
\[\tau\frac{dG}{dt} + G(t) = \delta(t) - \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}\theta(t) + \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}\theta(t) = \delta(t).\]
5.1.2 E le condizioni iniziali?
Che fine hanno fatto in tutto questo le condizioni iniziali? Le soluzioni omogenee sono quelle per cui è possibile avere una uscita \(\hat{V}_{out}(\omega)\neq 0\) con un ingresso nullo \(\hat{V}_{in}(\omega)=0,\) quindi devono necessariamente corrispondere a punti di divergenza della \(\mathcal{H}(\omega)\). Tipicamente \(\mathcal{H}(\omega)\) sarà una frazione di polinomi di \(j\omega\) e le divergenze sono gli zeri del denominatore, che in analisi complessa sono chiamati poli, o singolarità polari.
Nel caso specifico discusso, e facendo un passaggio matematicamente poco ovvio e assumendo che \(\omega\) sia un complesso qualsiasi, abbiamo una divergenza per \(\omega = j/\tau\). Inserendo senza pensarci troppo questo valore in un fasore otteniamo la funzione \(e^{j\omega t} = e^{-t/\tau}\), che è esattamente la soluzione omogenea del nostro problema. Qui ci muoviamo su un terreno matematicamente scivoloso e la sezione opzionale a seguire sulla trasformata di Laplace offre qualche spunto ulteriore.
AttenzioneSoluzione del circuito RLC
Ripercorriamo rapidissimamente gli stessi passaggi per il circuito a destra in Figura 5.1, un classico filtro passa banda. In questo caso abbiamo ancora una sola equazione, ma del secondo ordine,
\[\begin{cases} RC\dot Q(t)+Q(t)+LC\ddot{Q}(t)=C\,V_{in}(t)\\ \;Q(0)=Q_0\\ \;I(0)=I_0\\ \end{cases} \tag{5.5}\]
La soluzione particolare può essere trovata usando i fasori
\[\hat Q(\omega)=\frac{C\omega_0^2}{\omega_0^2+j\omega\gamma-\omega^2}\,\hat V_{in}(\omega),\]
dove \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) è la frequenza angolare di risonanza e \(\gamma = R/L\) è il coefficiente di smorzamento. Da questa relazione è possibile calcolare la soluzione asintotica, con la sua fase e ampiezza. Diversamente, le soluzioni omogenee sono di nuovo quelle per cui la funzione di risposta \(\mathcal{H}(\omega)\) diverge, ossia
\[\omega = \frac{j\gamma\pm\sqrt{4\omega_0^2-\gamma^2}}{2} =+j\frac{\gamma}{2}\pm\tilde{\omega}_0, \qquad \tilde\omega_0 = \sqrt{\omega_0^2-\frac{\gamma^2}{4}},\]
Queste possono essere riassemblate per ricostruire le due soluzioni omogenee reali, che sono delle oscillazioni smorzate:
\[ \begin{aligned} Q_1(t) &= e^{-\gamma t/2}\cos(\tilde{\omega}_0t),\\ Q_2(t) &= e^{-\gamma t/2}\sin(\tilde{\omega}_0t). \end{aligned} \]
Prendendo come uscita la tensione sul resistore, \(V_{out} = R\dot Q\), la funzione di risposta diventa
\[\mathcal{H}(\omega) = \frac{j\omega\gamma}{\omega_0^2-\omega^2+j\omega\gamma}, \tag{5.6}\]
che si annulla sia a \(\omega\to 0\) sia a \(\omega\to\infty\): è il passa-banda annunciato. La funzione di Green corrispondente è una combinazione delle due soluzioni omogenee,
\[G(t) = \gamma\,\theta(t)\left[Q_1(t)-\frac{\gamma}{2\tilde\omega_0}Q_2(t)\right] = \gamma\,\theta(t)\,e^{-\gamma t/2} \left[\cos(\tilde\omega_0 t)-\frac{\gamma}{2\tilde\omega_0}\sin(\tilde\omega_0 t)\right]. \tag{5.7}\]
Dimostrazione
Le due soluzioni omogenee si derivano una nell’altra,
\[\dot Q_1 = -\frac{\gamma}{2}Q_1-\tilde\omega_0 Q_2, \qquad \dot Q_2 = -\frac{\gamma}{2}Q_2+\tilde\omega_0 Q_1,\]
e derivando una seconda volta
\[\ddot Q_1 = \left(\frac{\gamma^2}{4}-\tilde\omega_0^2\right)Q_1+\gamma\tilde\omega_0 Q_2, \qquad \ddot Q_2 = \left(\frac{\gamma^2}{4}-\tilde\omega_0^2\right)Q_2-\gamma\tilde\omega_0 Q_1.\]
Sommando, i termini in \(\gamma\tilde\omega_0\) si cancellano fra \(\ddot Q_i\) e \(\gamma\dot Q_i\), e resta il solo coefficiente di \(Q_i\): \(\gamma^2/4-\tilde\omega_0^2-\gamma^2/2+\omega_0^2 = 0\) per la Equazione 5.11. Le due funzioni risolvono davvero l’omogenea.
Per la funzione di Green serve la risposta a \(V_{in}=\delta(t)\) con il circuito a riposo. Scriviamo la Equazione 5.5 in forma normale, dividendo per \(LC\),
\[\ddot Q+\gamma\dot Q+\omega_0^2 Q = \omega_0^2 C\,V_{in}(t),\]
e integriamola fra \(0^-\) e \(0^+\): la delta lascia un salto nella derivata, mentre \(Q\) resta continua. Le condizioni iniziali della risposta impulsiva sono quindi
\[Q(0^+)=0, \qquad \dot Q(0^+) = \omega_0^2 C = \frac{1}{L},\]
e la combinazione di \(Q_1\) e \(Q_2\) che le soddisfa contiene il solo seno, che in \(t=0\) si annulla:
\[Q(t) = \frac{\omega_0^2 C}{\tilde\omega_0}\,\theta(t)\,e^{-\gamma t/2} \sin(\tilde\omega_0 t).\]
L’uscita è la tensione sul resistore. Derivando — e la \(\theta\) non contribuisce, proprio perché \(Q(0^+)=0\) —*
\[G(t) = R\dot Q(t) = R\,C\omega_0^2\,\theta(t)\,e^{-\gamma t/2} \left[\cos(\tilde\omega_0 t)-\frac{\gamma}{2\tilde\omega_0}\sin(\tilde\omega_0 t)\right],\]
e il prefattore è \(RC\omega_0^2 = R/L = \gamma\), che dà la Equazione 5.7. \(\blacksquare\)
Due controlli a valle. In \(t=0^+\) si ha \(G = \gamma\): l’impulso di tensione fa saltare la corrente a \(1/L\) (è l’induttanza a fissarne la scala) e il resistore la legge come \(R/L\). E l’integrale su tutto il tempo è nullo, \(\int_0^\infty G\,dt = R[Q(\infty)-Q(0^+)] = 0\), come dev’essere per un passa-banda: la continua non passa.
AttenzioneFunzione di risposta… o trasferimento?!
Capita di usare entrambi questi termini quindi forse è bene fare qualche chiarimento.
La differenza fondamentale è in termini di contesto e tradizione. In campo elettronico e di ingegneria dei circuiti è più normale/comune parlare di funzione di trasferimento, che permette di calcolare un voltaggio di uscita in funzione di un voltaggio di ingresso. Il termine funzione di risposta deriva invece più da un contesto fisico più generale, dove abbiamo un sistema (lineare, anche se il concetto è estendibile a sistemi non lineari) che risponde ad una forzante.
In questo corso, capiterà di usare i due termini come sinonimi. Deve essere chiaro che a seconda dei contesti il significato di questi termini potrebbe non risultare sempre chiaro ai vostri interlocutori… inoltre esistono anche le “caratteristiche di trasferimento” di un transistor, o la “risposta in frequenza” di un amplificatore, ecc.
AttenzioneLa trasformata di Laplace
Perché. Per parlare di poli di \(\mathcal{H}(j\omega)\) come punti di un piano complesso è necessario estendere \(j\omega\) al piano complesso, il che non è il punto di partenza standard della trasformata di Fourier, e spesso e volentieri non ha neanche matematicamente senso. Un approccio più matematicamente ben definito è quello della trasformata di Laplace, che però pragmaticamente non introduciamo in Tecnologie Digitali dato che i risultati che fornisce sono – a parte questioni di convergenza affatto trascurabili da un punto di vista formale – sostanzialmente identici a parte l’uso della variabile complessa \(s=j\omega\).
Definizione. La trasformata di Laplace di un segnale \(Q(t)\) è definita come
\[\hat{Q}(s) = \int_0^{\infty} Q(t)\,e^{-st}\,dt, \qquad s = \sigma + j\omega,\]
cioè una trasformata di Fourier a cui si è aggiunto un fattore \(e^{-\sigma t}\) che forza la convergenza, e si è limitato l’integrale solo ai valori di tempo positivi. Questo permette di avere integrali convergenti per una classe molto superiore di segnali, quali un gradino, una rampa, una sinusoide che dura per sempre: basta che \(\sigma\) sia abbastanza grande. Alcuni casi limite come il gradino potrebbero essere trasformati anche con Fourier facendo degli opportuni limiti, ma la trasformata di Laplace fornisce un quadro più solido.
Piccole differenze. Vediamo cosa succede con Fourier e con Laplace nel caso di un segnale derivato nel tempo. Integrando per parti si ottiene facilmente
\[\mathcal{L}\!\left[\frac{dQ}{dt}\right] = s \hat{Q}(s) - Q(0),\]
ossia un risultato tutto sommato simile se sostituiamo la variabile complessa con \(s=j\omega\), ma con la differenza che in Laplace le condizioni iniziali non spariscono dal calcolo. Applicando l’intero calcolo alla equazione differenziale del filtro RC si ottiene
\[V_{out}(s) = \frac{1}{1+s\tau}\,V_{in}(s) + \frac{\tau}{1+s\tau}\,V_{out}(0),\]
dove il primo termine include la funzione di trasferimento \(\mathcal{H}(s)\) e il secondo la condizione iniziale e il transiente che ne consegue.
Antitrasformata. La trasformata inversa è un poco meno intuitiva e funziona come segue
\[Q(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\gamma-j\infty}^{\gamma+j\infty} \hat{Q}(s)\,e^{st}\,ds = \frac{e^{\gamma t}}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{Q}(\gamma+j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega\]
dove \(\gamma\) va scelto dentro la regione di convergenza. Come si vede dalla seconda forma, esiste una connessione intima con l’antitrasformata di Fourier.
Controesempio. Facciamo un esempio specifico di quando la trasformata di Fourier non può essere formalmente utilizzata. Da un punto di vista fisico non ha senso per un RC passivo, ma usando circuiti attivi è perfettamente possibile ottenere l’equivalente con una resistenza \(R<0\), e quindi un tempo caratteristico \(\tau=RC<0\). In questo caso la risposta impulsiva è \(G(t) = e^{-t/\tau}\theta(t)/\tau\), che con \(\tau<0\) diverge per \(t\to+\infty\). La trasformata di Fourier non converge, mentre la trasformata di Laplace esiste per \(\sigma>-1/\tau=1/|\tau|\) ed è possibile usarla per calcolare una risposta ad un \(V_{in}(t)\) qualsiasi e con una condizione iniziale \(V_{out}(0)\) qualsiasi.
5.2 La funzione \(\mathcal{H}(\omega)\)
Facciamo alcune considerazioni generali finali circa la funzione di risposta o trasferimento e sui modi tipici che useremo per rappresentarla.
TeoremaLa risposta di una rete passiva è un rapporto di polinomi
Ogni funzione di trasferimento fra due grandezze di un sistema descrivibile come una rete lineare di resistori, condensatori, induttori e generatori è un rapporto di polinomi in \(j\omega\) a coefficienti reali, \[\mathcal{H}(\omega) = \frac{P(j\omega)}{Q(j\omega)}, \tag{5.8}\]
e le sue radici — gli zeri (radici di \(P\)) e i poli (radici di \(Q\)) — sono reali oppure a coppie complesso-coniugate.
Mostra la dimostrazione
Il sistema lineare che deriva da Kirchhoff ha elementi di matrice che sono solo di due tipi: le equazioni di maglia contribuiscono con impedenze “vere” — \(R\), \(j\omega L\), \(1/j\omega C\) — mentre le equazioni di nodo contribuiscono con coefficienti \(\pm 1\). Riducendo a denominatore comune i termini, \(1/j\omega C\), ogni elemento è un polinomio in \(j\omega\) a coefficienti reali. Per la regola di Cramer ogni incognita è il rapporto di due determinanti, quindi un rapporto di polinomi in \(j\omega\); la divisione per l’eventuale potenza comune di \(j\omega\) lascia la forma Equazione 5.8. Infine, un polinomio a coefficienti reali ha radici reali oppure complesse a coppie coniugate. \(\blacksquare\)
5.2.1 Come si misura \(\mathcal{H}(\omega)\): metodo CW e metodo IR
Dalla definizione discendono due modi operativi per misurare la funzione di trasferimento:
Onda continua (CW, continuous wave). Si manda in ingresso una forzante \(f(t) = \cos(\omega t)\), per la linearità la risposta in uscita è ancora una sinusoide alla stessa frequenza scalata in ampiezza e sfasata: \(r(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\). Usando i fasori, \(r(t) = \mathrm{Re}[A e^{j\varphi}\, e^{j\omega t}]\): l’ampiezza complessa che moltiplica \(e^{j\omega t}\) non è altro che la funzione di trasferimento a \(\omega\): \[A\,e^{j\varphi} = \mathcal{H}(\omega). \tag{5.9}\]
Risposta impulsiva (IR, impulse response). Si manda in ingresso una \(f(t)=\delta(t)\) e si registra \(r(t) = G(t)\), che una volta trasformata restituisce \(\mathcal{H}(\omega)\) in un colpo solo, per tutte le \(\omega\). È più veloce, ma come si vedrà sul campo molto meno banale da eseguire in maniera corretta.
5.2.2 Poli, zeri e diagrammi di Bode
Le funzioni di risposta si disegnano tipicamente in scala bilogaritmica del modulo, che ha la buona proprietà di convertire prodotti e quozienti in somme e differenze
\[\log|\mathcal{H}(\omega)| = \log\left|\frac{A\cdot B\cdots}{C\cdots}\right| = \log|A| + \log|B| - \log|C| \cdots\]
Fattorizzando \(P\) e \(Q\) della Equazione 5.8 nei loro monomi (uno per ogni zero e per ogni polo), il modulo in scala log diventa la somma dei contributi dei singoli fattori, che si riducono alle due tipologie elencate in seguito.
Polo reale
Il primo mattone è il polo reale nella sua forma “standard”, normalizzata a \(1\) a frequenza nulla \[\mathcal{H}(\omega) = \frac{1}{1 + j\omega\tau}.\]
Il polo è in \(s = j\omega = -1/\tau\), sul semiasse reale negativo del piano \(s\), il che implica una funzione di Green
\[G(t) = \frac{\theta(t)}{\tau}\,e^{-t/\tau},\]
che parte a \(t = 0\) e decade con costante di tempo \(\tau\). La situazione è qualitativamente diversa per i poli che si trovano sul semiasse reale positivo, che indica instabilità del sistema.
Doppio polo complesso-coniugato
Il secondo mattone è la coppia di poli complessi coniugati, che compare tutte le volte che la risposta ha una risonanza. Nella forma standard normalizzata:
\[\mathcal{H}(\omega) = \frac{\omega_0^2}{\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\gamma}. \tag{5.10}\]
I due poli stanno in
\[s = -\frac{\gamma}{2} \pm j\tilde\omega_0, \qquad \omega_0^2 = \tilde\omega_0^2 + \frac{\gamma^2}{4}, \tag{5.11}\]
cioè su un cerchio di raggio \(\omega_0\) nel semipiano sinistro (con \(\gamma > 0\) perché la risposta sia smorzata e causale): l’attrito \(\gamma\) sposta i poli verso l’asse reale e abbassa la frequenza di oscillazione da \(\omega_0\) a \(\tilde\omega_0\), fino allo smorzamento critico. La risposta all’impulso è un’oscillazione smorzata,
\[G(t) = \frac{\omega_0^2}{\tilde\omega_0}\,\theta(t)\,e^{-\gamma t/2}\sin(\tilde\omega_0 t),\]
che oscilla a \(\tilde\omega_0\) dentro un inviluppo che si spegne in un tempo \(2/\gamma\).
Sul diagramma di Bode: il modulo ha un picco di risonanza di altezza \(\sim \omega_0/\gamma = Q\) e larghezza \(\sim \gamma\), e ad alta frequenza scende con pendenza \(-40\) dB/decade (doppia rispetto al polo reale, perché i poli sono due). La fase va da \(0\) a \(-\pi\) passando per \(-\pi/2\) in risonanza (\(\omega = \omega_0\)), con una transizione tanto più brusca quanto più piccolo è \(\gamma\). Nel regime di risonanza stretta (\(\omega \sim \omega_0\) e \(\gamma \ll \omega_0\)) la Equazione 5.10 si approssima con una lorentziana,
\[\mathcal{H}(\omega) \simeq \frac{\omega_0/2}{\omega_0 - \omega + j\gamma/2}. \tag{5.12}\]
Fattore di qualità. La qualità della risonanza si quantifica con
\[Q = \frac{\omega_0}{\gamma}, \tag{5.13}\]
e i conti che ne seguono sono tre, tutti immediati. In frequenza, la lorentziana Equazione 5.12 ha larghezza \(\Delta\omega = \gamma\) a metà altezza in potenza — cioè fra i due punti a \(-3\) dB, dove \(|\mathcal{H}|\) è sceso di \(\sqrt2\); sul modulo, preso alla lettera, la larghezza a metà altezza sarebbe \(\sqrt3\,\gamma\) — quindi \(Q = \omega_0/\Delta\omega\): è il picco diviso la sua larghezza. In altezza, in risonanza il denominatore della Equazione 5.10 vale \(j\omega_0\gamma\) e quindi \(|\mathcal{H}(\omega_0)| = \omega_0/\gamma = Q\). Nel tempo, l’inviluppo \(e^{-\gamma t/2}\) scende di \(1/e\) in \(t = 2/\gamma\), durante il quale il sistema compie
\[\frac{t}{T} = \frac{2}{\gamma}\cdot\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{Q}{\pi}\]
oscillazioni: \(Q\) conta, a meno di \(\pi\), quante ne fa prima di spegnersi. Negli oscillatori \(\gamma\) può diventare negativo (poli nel semipiano destro) e la descrizione appropriata è la trasformata di Laplace.
La figura Figura 5.4 rende visibile il legame tra la posizione dei poli nel piano complesso e la risposta: spostando i poli coniugati verso l’asse immaginario (cioè aumentando \(Q\)) il picco di risonanza cresce e la fase transisce più bruscamente, mentre nel tempo il ringing si smorza più lentamente.
Il modulo \(|\mathcal{H}(\omega)|\) o guadagno del filtro si misura e riporta spesso in decibel.
Definizione 5.1: Decibel
Il guadagno in ampiezza si esprime in decibel (dB) come
\[|\mathcal{H}(\omega)|_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10} \frac{|V_{out}(\omega)|}{|V_{in}(\omega)|}. \tag{5.14}\]
Il fattore è \(20\) (e non \(10\)) perché si tratta di un rapporto di ampiezze: la potenza va come l’ampiezza al quadrato, quindi in potenza lo stesso rapporto varrebbe \(10\log_{10}\). Regole utili a memoria: un fattore \(10\) in ampiezza vale \(+20\) dB, un fattore \(2\) vale \(\simeq +6\) dB, e un fattore \(\sqrt2\) vale \(+3\) dB.
5.2.3 Esempio concreto: filtro passa-banda
Torniamo al circuito concreto illustrato in Figura 5.2: un generatore, una cella RC passa-basso e una cella CR passa-alto in cascata. Chiamiamo \(\tau_1 = R_1C_1\) e \(\tau_2 = R_2C_2\) le costanti di tempo delle due celle prese da sole. Se i due filtri in cascata fossero indipendenti la funzione di risposta sarebbe un semplice prodotto
\[ \mathcal{H}(\omega) = \frac{1}{1 + j\omega\tau_1} \cdot \frac{j\omega\tau_{2}}{1 + j\omega\tau_2}. \tag{5.15}\]
ma questo risultato non è corretto perché il primo filtro si trova a pilotare il secondo, che quindi ne modifica la risposta in frequenza. Si noti in questo che l’intero filtro può essere modificato dall’applicazione di un carico in uscita, effetto che trascuriamo quando lo misuriamo con uno strumento ad alta impedenza. Un semplice calcolo che non riproduciamo porta a
\[ \begin{aligned} \mathcal{H}(\omega) &= \frac{j\omega\tau_2}{(1 + j\omega\tau_1)(1 + j\omega\tau_2)+j\omega R_1C_2}\\ &= \frac{j\omega\tau_2}{(1 + j\omega\tau_A)(1 + j\omega\tau_B)}\\ \end{aligned} \tag{5.16}\]
dove \(\tau_A\) e \(\tau_B\), che definiscono i limiti del filtro, non sono più uguali a \(\tau_1\) e \(\tau_2\), anzi potrebbero essere anche significativamente diversi e sono fissati dalle due equazioni
\[ \begin{cases} \tau_A+\tau_B &= \tau_1+\tau_2+R_1C_2 \\ \tau_A\tau_B &= \tau_1\tau_2. \end{cases} \]
AttenzioneFiltri di ordine superiore e Butterworth
Sebbene i Bode più complessi siano solo somma e differenza dei poli elementari appena illustrati, non è sempre tutto così immediato e vale la pena spendere due parole su come si fa un filtro con più poli o di ordine \(n\), che decade alle alte frequenze come \(1/\omega^n\).
Uno dei possibili modi è quello implementato dal filtro di Butterworth che contiene molti poli disposti su una semicirconferenza, con una posizione esatta determinata dalla richiesta di avere un profilo di risposta massimamente piatto, glissando sulla definizione matematica precisa. La problematica è molto evidente nel caso del doppio polo complesso coniugato, dove a seconda dei parametri è possibile ottenere perfino una risonanza. Nel caso Butterworth, i poli sono spaziati di una distanza angolare pari a \(\pi/n\) e sono disposti simmetricamente rispetto all’asse \(s\) reale, come mostrato in Figura 5.5.
Va qui notato che il singolo polo reale è di fatto un Butterworth di ordine \(n=1\) mentre il doppio polo complesso coniugato con smorzamento \(\gamma=\omega_0\sqrt{2}\) è di fatto un Butterworth di ordine \(n=2\).
ImportanteTake-home
- Corrispondenza fra circuiti con impedenze complesse nel dominio delle frequenze e sistemi di equazioni differenziali nel tempo
- soluzioni particolari, omogenee e soluzione generale
- funzione di Green del sistema
- funzione di risposta \(\mathcal{H}(\omega)\) e connessione con i concetti precedenti
- Misura di \(\mathcal{H}(\omega)\): tecnica CW e IR.
- Visualizzazione di \(\mathcal{H}(\omega)\): diagrammi di Bode e decomposizione nei poli elementari principali, definizione di decibel